インテジャーズ

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

レルヒの合同式とレルヒ素数

Fermat商q_p(a)とWilson商w_pと呼ばれる対象を以前紹介しました:
integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

実はこれらは次のように密接に結びついています:

Lerchの合同式 奇素数pに関する合同式
\displaystyle \sum_{a=1}^{p-1}q_p(a) \equiv w_p \pmod{p}
が成り立つ。
証明. Fermat商の定義より、a=1, \dots, p-1に対して

\displaystyle 1+pq_p(a) = a^{p-1}

が成り立つので、これらを掛け合わせることにより

\displaystyle \prod_{a=1}^{p-1}(1+pq_p(a)) = (p-1)!^{p-1}

が成り立つ。左辺を展開して\bmod{p^2}で考えることにより、

\displaystyle 1+p\sum_{a=1}^{p-1}q_p(a) \equiv (p-1)!^{p-1} \pmod{p^2} ―①

を得る。一方、Wilson商の定義より

\displaystyle (p-1)! = -1+pw_p

なので、

\displaystyle (p-1)!^{p-1} \equiv (-1+pw_p)^{p-1} \equiv 1-p(p-1)w_p \equiv 1+pw_p \pmod{p^2} ―②

が成り立つ。①、②を比較することにより証明すべき合同式が得られる。 Q.E.D.

\bmod{p}の合同式を証明するために\bmod{p^2}で議論するという少しトリッキーな証明です。

このLerchの合同式に基づいてSondowは次のような商を提唱しました:

定義 奇素数pに対して、Lerch商l_p
\displaystyle l_p := \frac{\sum_{a=1}^{p-1}q_p(a)-w_p}{p} \in \mathbb{Z}
と定義する。

そうして、Fermat商からWieferich素数、Wilson商からWilson素数という概念が生まれたのと同様にして、Lerch素数が定義できます:

定義 奇素数pLerch素数であるとは、
\displaystyle l_p \equiv 0 \pmod{p}
が成り立つときにいう。

見つかっているLerch素数は3, 103, 839, 2237の4つです。

なお、少し面白い問題をSondowが提起しています:

Question Lerch商が素数になるのはl_5=13だけか?