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数、特に整数に関する記事。

関-ベルヌーイ数の第二種Stirling数を用いた公式

関-Bernoulli数は第二種Stirling数を用いて表すことができます。

関-Bernoulli数については
integers.hatenablog.com

を、第二種Stirling数については

integers.hatenablog.com

を参照してください。関-Bernoulli数は一つ目の記事で紹介したように

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{t^n}{n!} = \frac{te^t}{e^t-1} -①

を満たすように定義されます。一方、二つ目の記事では第二種Stirling数が

\displaystyle e^{x(e^t-1)}=\sum_{n \geq k \geq 0}\left\{ {n \atop k} \right\} x^k\frac{t^n}{n!} -②

を満たすことを示しました。②においてx^kの係数を比較することによって

\displaystyle \frac{(e^t-1)^k}{k!} = \sum_{n=k}^{\infty}\left\{ {n \atop k} \right\}\frac{t^n}{n!} -③

が成り立つことが分かります。

\displaystyle \frac{te^t}{e^t-1} = \frac{t}{1-e^{-1}} = \frac{-\log (1-(1-e^{-t}) )}{1-e^{-t}}

と変形し、対数関数のTaylor展開*1

\displaystyle -\log (1-x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{n}

より

\begin{align}\frac{te^t}{e^t-1} &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(1-e^{-t})^{k-1}}{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(e^{-t}-1)^k}{k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{k+1}\frac{(e^{-t}-1)^k}{k!} \\ 
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kk!}{k+1}\sum_{n=k}^{\infty}\left\{ {n \atop k} \right\}\frac{(-t)^n}{n!} \quad (\text{③より})\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left( \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1} \right) \frac{t^n}{n!} \quad (\text{和の順序の入れ替え})\end{align}

と計算できます。よって、①と係数比較をすることにより、

\displaystyle B_n = (-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!\left\{ {n \atop k} \right\}}{k+1}

なる関-Bernoulli数の第二種Stirling数を用いた表示が得られました。なお、

integers.hatenablog.com

\displaystyle \left\{ {n \atop k} \right\} = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^n

を証明したので、

\begin{align} B_n &= (-1)^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom{k}{j}j^n \\ &= (-1)^n\sum_{n \geq k \geq j \geq 0}\frac{(-1)^jj^n}{k+1}\binom{k}{j} \end{align}

なる二項係数を用いた二重和表示も得られます。

*1:記事全体で形式的冪級数として書いていますが、収束冪級数で考えてもよいです。対数関数のTaylor展開は|x| < 1で収束し、関-Bernoulli数の定義級数は|t| < 2\piで収束します。