2017-09-17

タオのセメレディ論文の§5を読む (その一)

§5 Almost periodic functions を二回に分けて読んでいきます。前半は一様概周期性ノルム族の定義を行います。

定義１ (Banach代数, Definition 5.1) $A$ を $\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ の部分 $\mathbb{C}$ -代数とする。このとき、 $A$ が $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数*1であるとは、ノルム

$\left\| \cdot \right\|_A \colon A \to \mathbb{R}^+$

が備わっており、ノルム性質

(斉次性) $\ \left\|\lambda f\right\|_A = \left| \lambda \right| \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}\lambda \in \mathbb{C}, \ {}^{\forall}f \in A)$
(非退化性) $\ \left\| f\right\|_A= 0 \Longleftrightarrow f=0 \quad ({}^{\forall}f \in A)$
(三角不等式) $\ \left\|f+g\right\|_A \leq \left\|f\right\|_A+\left\|g\right\|_A \quad ({}^{\forall}f, g \in A)$

を満たし、かつ

(複素共役不変性) $\ \left\|\overline{f}\right\|_A = \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}f \in A)$
(積閉性) $\ \left\|fg\right\|_A \leq \left\|f\right\|_A\left\|g\right\|_A \quad ({}^{\forall}f, g \in A)$
$\left\|f\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}f \in A)$

を満たすときにいう。

$f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C}) \setminus A$ に対しては便宜的に $\left\|f\right\|_A := \infty$ と定めることによってノルム $\left\| \cdot \right\|_A$ は任意の関数に対して定義されていると考えることにします。また、

$B(A):=\{f \in A \mid \left\|f\right\|_A \leq 1\}, \quad B^-(A):=\{f \in A \mid \left\|f\right\|_A < 1\}$

と記号を導入します(単位球)。

定義２ $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数 $A$ がシフト不変であるとは、任意の $n \in \mathbb{Z}_N, \ f \in A$ に対して $\left\|T^nf\right\|_A = \left\|f\right\|_A$ が成り立つときにいう。また、 $A$ がスケール不変であるとは、任意の $\lambda \in \mathbb{Z}_N\setminus \{0\}, \ f \in A$ に対して $\left\|f_{\lambda}\right\|_A=\left\|f\right\|_A$ が成り立つときにいう。

シフト不変な場合は定義から $f \in A \Longrightarrow T^nf \in A \ ({}^{\forall}n \in \mathbb{Z}_N)$ 、スケール不変な場合は $f \in A \Longrightarrow f_{\lambda} \in A \ ({}^{\forall}\lambda \in \mathbb{Z}_N\setminus \{0\})$ に注意。

定義３ (一様概周期関数) $A$ を $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数とする。関数 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ が( $A$ に関する)一様概周期関数であるとは、

空でない有限集合 $H$
定数 $M \geq 0$
$h \in H$ 毎に定まる有界関数 $g_h$
$(n, h) \in \mathbb{Z}_N\times H$ 毎に定まる $c_{n, h} \in B(A)$

が存在して、任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して

$T^nf = M\mathbb{E}_{h \in H}\left( c_{n, h}g_h \right)$ −①

が成り立つときにいう。ただし、右辺の $\mathbb{E}_{h \in H}$ の部分は点毎に期待値を返す関数とする。

一様概周期関数に対して一様概周期性ノルムを定義します。

定義４ (一様概周期性ノルム, Definition 5.2) $A$ をシフト不変な $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数とする。このとき、 $A$ に関する一様概周期関数全体のなす集合を $UAP[A]$ とし、 $f \in UAP[A]$ に対して、一様概周期性ノルム $\left\|f\right\|_{UAP[A]}$ を一様概周期関数の定義によって存在する $M$ の下限と定める。

次の命題は $UAP[A]$ の基本性質を述べるものです：

命題 (Proposition 5.4) $A$ をシフト不変な $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数とする。このとき、 $UAP[A]$ もシフト不変な $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数をなし、

$A \subset UAP[A]$
$\left\|f\right\|_{UAP[A]} \leq \left\|f\right\|_A \quad ({}^{\forall}f \in A)$

が成り立つ。更に $A$ がスケール不変であれば、 $UAP[A]$ もスケール不変となる。

証明. 確かめることが多数あるので一つずつ示していく。

$\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ の非負性: ①において $M \geq 0$ であることから明らか。

$UAP[A]$ がシフト不変であること: 一様概周期関数の定義における $M$ は $f$ のシフト軌道 $\{T^nf \mid n \in \mathbb{Z}_N\}$ に対して一律に存在することが要請されているので、 $\left\|T^nf\right\|_{UAP[A]}=\left\|f\right\|_{UAP[A]}$ である。

$UAP[A]$ が複素共役不変性を満たすこと: 一様概周期関数 $f$ に対して①のような表示があれば、

$T^n\overline{f} = M\mathbb{E}_{h \in H}\left( \overline{c_{n, h}}\cdot \overline{g_h} \right)$

であり、 $A$ が $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数であることから

$\left\|\overline{c_{n, h}}\right\|_{A} = \left\|c_{n, h}\right\|_{A} \leq 1,\quad \left\|\overline{g_h}\right\|_{L^{\infty}} = \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}} \leq 1$

であるので、 $\overline{f}$ は一様概周期関数であり、 $\left\|\overline{f}\right\|_{UAP[A]}=\left\|f\right\|_{UAP[A]}$ が成り立つ。

$UAP[A]$ がスカラー倍で閉じていることと $\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ の斉次性: $\lambda \in \mathbb{C}$ を $re^{\sqrt{-1}\theta}$ と極形式で表す。一様概周期関数 $f$ に対して①のような表示があれば、

$T^n(\lambda f) = rM\mathbb{E}_{h \in H}\left( c_{n, h}(e^{\sqrt{-1}\theta}g_h) \right)$

と表示でき、 $\left\|e^{\sqrt{-1}\theta}g_h\right\|_{L^{\infty}} = \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}}$ であることから $\lambda f$ は一様概周期関数であることがわかる。また、これは

$\left\|\lambda f\right\|_{UAP[A]} = r\left\|f\right\|_{UAP[A]} = \left|\lambda\right| \left\|f\right\|_{UAP[A]}$

であることも示している。

$A$ がスケール不変であれば $UAP[A]$ もスケール不変であること: $T^nf_{\lambda}=(T^{\lambda^{-1}n}f)_{\lambda}$ なので、一様概周期関数 $f$ に対して①のような表示があれば、

$\displaystyle T^nf_{\lambda} = M\mathbb{E}_{h \in H}\left( \left(c_{\lambda^{-1}n, h}\right)_{\lambda} \left(g_h\right)_{\lambda}\right)$

が成り立つ。 $A$ のスケール不変性より

$\displaystyle \left\|\left(c_{\lambda^{-1}n, h}\right)_{\lambda}\right\|_A = \left\|c_{\lambda^{-1}n, h}\right\|_A \leq 1,\quad \left\|\left(g_h\right)_{\lambda} \right\|_{L^{\infty}} = \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}} \leq 1$

なので、 $f_{\lambda}$ も一様概周期関数であり、 $\left\|f_{\lambda}\right\|_{UAP[A]} = \left\|f\right\|_{UAP[A]}$ が成り立つことがわかる。

$\left\| \cdot \right\|_{L^{\infty}} \leq \left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ であることと、 $\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ の非退化性: $\ f$ を一様概周期関数とするとき、表示①に対して

$\left\| c_{0, h}\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\| c_{0, h}\right\|_{A} \leq 1$

が成り立つので、通常の絶対値に関する三角不等式によって $\left\|f\right\|_{L^{\infty}} \leq M$ が成り立つ。よって、定義より $\left\|f\right\|_{L^{\infty}} \leq \left\|f\right\|_{UAP[A]}$ が成り立つ。非退化性はこの不等式からわかる。

$A \subset UAP[A]$ であることと、 $\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]} \leq \left\| \cdot \right\|_A$ : $\ 0\neq f \in A$ に対して $\widehat{f}$ を

$\displaystyle \widehat{f} := \frac{1}{\left\|f\right\|_A}f$

によって定義する(非退化性により $\left\|f\right\|_A\neq 0$ )。 $A$ が $\mathbb{C}$ -代数であることから $\widehat{f} \in A$ であり、 $\left\| \cdot \right\|_A$ の非負性・斉次性より $\left\|\widehat{f}\right\|_A=1$ 。また、任意の $n \in \mathbb{Z}_N$ に対して、 $A$ のシフト不変性によって $T^n\widehat{f} = \widehat{T^nf} \in A$ である。このとき、

$\displaystyle T^nf = \left\|f\right\|_A\cdot T^n\widehat{f}, \quad \left\|T^n\widehat{f}\right\|_A=1$

なので、 $H=\{h\}, \ c_{n, h} = T^n\widehat{f}, \ g_h=\mathbf{1}_{\mathbb{Z}_N}$ に対して $f$ は①の表示を持つ。すなわち、 $f$ は一様概周期関数であることが示された。また、この表示は $\left\|f\right\|_{UAP[A]} \leq \left\|f\right\|_A$ を示している。 $f = 0, \ f\in UAP[A] \setminus A$ の場合は明らか。

$UAP[A]$ が加法で閉じており、 $\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ が三角不等式を満たすこと: 次を示せば十分である:

帰着 $\ f, f' \in B^-(UAP[A])$ とするとき、任意の $0 < \theta < 1$ に対して

$(1-\theta)f+\theta f' \in B(UAP[A])$

が成り立つ。

理由: 帰着の主張が示されたと仮定する。 $f, f' \in UAP[A]$ が $f \neq 0, \ f' \neq 0$ の場合に主張を示せば十分。 $\widehat{f}, \widehat{f'}$ は

$\left\|\widehat{f}\right\|_{UAP[A]}=\left\|\widehat{f'}\right\|_{UAP[A]}=1$

を満たすので、任意の $0 < t < 1$ に対して

$\begin{align} &\frac{t}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}(f+f') \\ &= \frac{\left\|f\right\|_{UAP[A]}}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}(t\widehat{f})+\frac{\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}(t\widehat{f'}) \in B(UAP[A])\end{align}$

である( $t\widehat{f}, t\widehat{f'} \in B^-(UAP[A])$ に注意)。 $UAP[A]$ がスカラー倍で閉じていることと、 $\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ の斉次性から

$\displaystyle f+f' \in UAP[A], \quad \left\|f+f'\right\|_{UAP[A]} \leq \frac{1}{t}\left(\left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}\right)$

が成立する。 $t^{-1} > 1$ は任意なので、三角不等式

$\displaystyle \left\|f+f'\right\|_{UAP[A]} \leq \left\|f\right\|_{UAP[A]}+\left\|f'\right\|_{UAP[A]}$

が従う。帰着の主張の証明: $\ f, f' \in B^-(UAP[A])$ と $0 < \theta < 1$ をとる。このとき、或る空でない有限集合 $H, H'$ , $(n, h) \in \mathbb{Z}_N \times H$ 毎に $c_{n, h} \in B(A)$ , $(n, h') \in \mathbb{Z}_N \times H'$ 毎に $c_{n, h'}' \in B(A)$ , $h \in H$ 毎に有界関数 $g_h$ , $h' \in H'$ 毎に有界関数 $g_{h'}'$ が存在して、 $n \in \mathbb{Z}_N$ 毎に

$\displaystyle T^nf = \mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h), \quad T^nf' = \mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}')$ −②

と表示される。更に、或る $M < 1$ が存在して

$\displaystyle \left\|g_h\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|g_{h'}'\right\|_{L^{\infty}} \leq M \quad ({}^{\forall}h \in H, {}^{\forall}h' \in H')$

とすることができる。理由: 定義から $0 \leq M_1, M_2 < 1$ が存在して、 $n \in \mathbb{Z}_N$ 毎に

$\begin{align} &T^nf = M_1\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)=\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}M_1g_h), \\ &T^nf' = M_2\mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}')=\mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'M_2g_{h'}')\end{align}$

と書ける。よって、 $M:=\max\{M_1, M_2\}$ , $M_1g_h \mapsto g_h, \ M_2g_{h'}'\mapsto g_{h'}'$ とすればよい。

この $M < 1$ をとって、 $n \in \mathbb{Z}_N$ を任意に固定する。また、 $m_1:=\#H, \ m_2:=\#H', \ d:=\mathrm{gcd}(m_1, m_2), \ l:=\mathrm{lcm}(m_1, m_2)$ とする。

$\displaystyle H_{\ast}:=\underbrace{H\sqcup \cdots \sqcup H}_{m_2/d}, \quad H_{\ast}':=\underbrace{H'\sqcup \cdots \sqcup H'}_{m_1/d}$

と有限集合 $H_{\ast}, H_{\ast}'$ を導入すると、 $\#H_{\ast}=\#H_{\ast}'=l$ なので、

$H_{\ast}=\{h_1, h_2, \dots, h_l\}, \quad H_{\ast}'=\{h_1', h_2', \dots, h_l'\}$

と各元に適当に名前をつければ

$\begin{align} &\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h) = \frac{1}{l}\Biggl(\underbrace{\sum_{h \in H}c_{n, h}g_h+\cdots +\sum_{h \in H}c_{n, h}g_h}_{m_2/d}\Biggr) = \frac{1}{l}\sum_{i=1}^lc_{n, h_i}g_{h_i},\\ &\mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}') = \frac{1}{l}\Biggl(\underbrace{\sum_{h' \in H'}c_{n, h'}'g_{h'}'+\cdots +\sum_{h' \in H'}c_{n, h'}'g_{h'}'}_{m_1/d}\Biggr) = \frac{1}{l}\sum_{i=1}^lc_{n, {h_i'}}'g_{h_i'}'\end{align}$

と書ける。よって、

$\begin{align} T^n\left( (1-\theta)f+\theta f'\right) &= (1-\theta)\mathbb{E}_{h \in H}(c_{n, h}g_h)+\theta \mathbb{E}_{h' \in H'}(c_{n, h'}'g_{h'}') \\ &= \frac{1}{l}\sum_{i=1}^l\left( (1-\theta)c_{n, h_i}g_{h_i}+\theta c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'\right)\end{align}$ −③

を得る。この先、 $i$ を固定して、 $\theta$ が有理数であるか無理数であるかによって場合分けする。

$\theta$ が有理数であるとき. $\theta = b/a$ と書ける( $a, b$ は正整数で、 $a > b$ )。このとき、

$\displaystyle (1-\theta)c_{n, h_i}g_{h_i}+\theta c_{n, h_i'}'g_{h_i'}' = \frac{\overbrace{c_{n, h_i}g_{h_i}+\cdots +c_{n, h_i}g_{h_i}}^{a-b}+\overbrace{c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'+\cdots + c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'}^{b}}{a}$ −④

と書けるので、③と④を合わせれば、 $\#H''=la$ なる有限集合 $H''$ , $(n, h'') \in \mathbb{Z}_N \times H''$ 毎に $c_{n, h''}'' \in B(A)$ , $h'' \in H''$ 毎に有界関数 $g_{h''}''$ が存在して

$\displaystyle T^n\left( (1-\theta)f+\theta f'\right) = \mathbb{E}_{h'' \in H''}(c_{n, h''}''g_{h''}'')$

と書けることがわかった( $b/a$ は $i$ に依らないことに注意)。これは、 $(1-\theta)f+\theta f' \in B(UAP[A])$ を示している。

$\theta$ が無理数であるとき. $\theta = \frac{b}{a}+\frac{\gamma}{a}$ と書ける( $a, b$ は正整数で、 $a > b$ 。 $\gamma$ は $0 < \gamma < 1$ を満たす実数)。 $\theta$ が無理数であることから、 $a$ としてはいくらでも大きいものをとることができる。そこで、 $\left(1+\frac{2}{a}\right)M \leq 1$ であるようにとっておく(これは $M < 1$ であることから可能である)。このとき、

${\small \begin{align} & (1-\theta)c_{n, h_i}g_{h_i}+\theta c_{n, h_i'}'g_{h_i'}' \\ &=\frac{\overbrace{c_{n, h_i}g_{h_i}+\cdots +c_{n, h_i}g_{h_i}}^{a-b}+\overbrace{c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'+\cdots + c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'}^{b}-\gamma c_{n, h_i}g_{h_i}+\gamma c_{n, h_i'}'g_{h_i'}'}{a}\\ &=\frac{1}{a+2}\Bigl\{\overbrace{c_{n, h_i}\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}+\cdots +c_{n, h_i}\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}}^{a-b}+\overbrace{c_{n, h_i'}'\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'+\cdots + c_{n, h_i'}'\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'}^{b}\\ &\quad \quad+c_{n, h_i}\left(-\gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)\right)g_{h_i}+ c_{n, h_i'}'\left( \gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)\right)g_{h_i'}'\Bigr\} \ \text{–⑤}\end{align}}$

と書ける。 $M, \ a$ の取り方から

$\displaystyle \left\|\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|\left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|-\gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i}\right\|_{L^{\infty}}, \ \left\|\gamma \left(1+\frac{2}{a}\right)g_{h_i'}'\right\|_{L^{\infty}} \leq 1$

である。これに注意すれば、 $\theta$ が有理数のときと同様に、③と⑤から $(1-\theta)f+\theta f' \in B(UAP[A])$ が従う( $\#H''=l(a+2)$ である)。

$UAP[A]$ が積で閉じており、 $\left\|\cdot \right\|_{UAP[A]}$ が積閉性を満たすこと: $\ f, \ f' \in B^-(UAP[A])$ であれば $ff' \in B(UAP[A])$ であることを示せばよい。理由: それが示されたとする。 $f, \ f' \in UAP[A]$ がともに $0$ でない場合に主張を示せば十分である。仮定より、任意の $0 < t < 1$ に対して

$\displaystyle (t\widehat{f})(t\widehat{f'}) = \frac{t^2}{\left\|f\right\|_{UAP[A]}\left\|f'\right\|_{UAP[A]}}ff' \in B(UAP[A])$

であることから、 $UAP[A]$ のスカラー倍に対する不変性によって $ff' \in UAP[A]$ であり、 $\left\| \cdot \right\|_{UAP[A]}$ の斉次性より

$\displaystyle \left\|ff'\right\|_{UAP[A]} \leq \frac{1}{t^2}\left\|f\right\|_{UAP[A]}\left\|f'\right\|_{UAP[A]}$

が成立する。 $t^{-2} > 1$ は任意だから、積閉性が従う。 $f, \ f' \in B^-(UAP[A])$ であるとし、②の表示を持ったとする。このとき、 $H'':=H \times H'$ とし、 $(h, h') \in H''$ に対して

$\widetilde{c}_{n, (h, h')}:=c_{n, h}c'_{n, h'}, \quad \widetilde{g}_{(h, h')}:=g_hg'_{h'}$

とすれば $\widetilde{c}_{n, (h, h')} \in B(A)$ であり、 $\widetilde{g}_{(h, h')}$ は有界関数である。そうして、

$\displaystyle T^n(ff') = \mathbb{E}_{(h, h') \in H''}\left(\widetilde{c}_{n, (h, h')}\widetilde{g}_{(h, h')}\right)$

が成り立つので $ff' \in B(UAP[A])$ が示された。

以上で証明すべき項目は全て達成された。 Q.E.D.

上記命題により、予告していた一様概周期性ノルム族

$\left\|f\right\|_{UAP^0} \geq \left\|f\right\|_{UAP^1} \geq \cdots \geq \left\|f\right\|_{UAP^{k-2}} \geq \cdots \geq \left\|f\right\|_{L^{\infty}}$

が次の定義から定まります：

定義５ (一様概周期関数空間) $UAP^0$ を $\left\| \cdot \right\|_{L^{\infty}}$ をノルムとする定数関数全体のなすシフト不変かつスケール不変な $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数*2とする。 $d \geq 1$ に対してはシフト不変かつスケール不変な $\mathbb{Z}_N$ 上の関数達のなすBanach代数 $(UAP^d, \left\| \cdot \right\|_{UAP^d})$ を、帰納的に

$\displaystyle UAP^d := UAP[UAP^{d-1}], \quad \left\|\cdot \right\|_{UAP^d}:=\left\|\cdot \right\|_{UAP[UAP^{d-1}]}$

と定義する(命題に基づく)。

Szemerédiの定理の証明には使わないですが、例を一つ見ておきましょう。

一様概周期関数の例 (Example 5.7) $d$ を非負整数、 $J$ を正整数とする。絶対値が $1$ 以下の複素数 $c_j$ 及び次数が $d$ 以下の $\mathbb{Z}_N$ 係数の多項式 $P_j(x)$ を用いて

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{J}\sum_{j=1}^Jc_je\left(\frac{P_j(x)}{N}\right)$

と表される関数 $f \in \mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ は $B(UAP^d)$ の元である。ここで、 $e(y):=e^{2\pi\sqrt{-1}y}$ 。

証明. $d$ に関する帰納法で証明する。 $d=0$ のときは $f$ は絶対値が $1$ 以下の定数関数なので、確かに $B(UAP^0)$ の元である。 $d-1$ のときに成立すると仮定する。 $[J]:=\{1, 2, \dots, J\}$ とし、 $n \in \mathbb{Z}_N, \ j \in [J]$ に対して

$\displaystyle c_{n, j}:=e\left( \frac{P_j(x+n)-P_j(x)}{N}\right), \quad g_j:=c_je\left( \frac{P_j(x)}{N}\right)$

とすれば、 $P_j(x+n)-P_j(x)$ の次数が $d-1$ 以下であることから帰納法の仮定により $c_{n, j} \in B(UAP^{d-1})$ であり、 $g_j$ は有界関数である。よって、

$\displaystyle T^nf = \mathbb{E}_{j \in [J]}\left(c_{n, j}g_j\right)$

という表示を持つことから $f \in B(UAP^d)$ であることが示された。 Q.E.D.

Szemerédiの定理の証明には不要なので証明しませんが、実は集合としては $d \geq 1$ に対して

$\displaystyle UAP^d=\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$

が成り立っています。

追記) カナンさんのセミナーに出てわかったこと: 命題について、加法で閉じていることの証明で有理数と無理数に分けている部分は $\gamma=0$ も含めれば場合分けの必要がない。また、積で閉じていることの証明は帰着しなくとも直接簡明に示すことができる。

付録有限次元ノルム空間の完備性

補題 $V$ を有限次元 $\mathbb{C}$ -ノルム空間とする。このとき、 $V$ は完備である。

証明. $V$ を $J$ 次元とし、 $\{v_j\}_{j=1}^{J}$ を $V$ の基底とする。 $V$ のCauchy列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ をとる。 $x_n$ は

$\displaystyle x_n = \sum_{j=1}^J\alpha_j^{(n)}v_j, \quad (\alpha_j^{(n)} \in \mathbb{C})$

と表示できる。双対基底 $\{v_j^{\ast}\}$ をとると

$\displaystyle \left|\alpha_j^{(n)}-\alpha_j^{(m)}\right| = \left|v_j^{\ast}(x_n-x_m)\right| \leq \left\|x_n-x_m\right\|\cdot \left\|v_j^{\ast}\right\|_{V^{\ast}}$

と評価できるので $\{\alpha_j^{(n)}\}_{n=1}^{\infty}$ はCauchy列であることがわかる。従って、

$\displaystyle \alpha_j := \lim_{n \to \infty}\alpha_j^{(n)} \in \mathbb{C}$

が存在し、 $\displaystyle x:=\sum_{j=1}^J\alpha_jv_j \in V$ とすれば三角不等式から

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = x$

が従う。すなわち、 $V$ は完備である。 Q.E.D.

*1:ad hocな用語であることに注意。完備性を課さないかわりに若干の性質を追加している。とは言っても $\mathrm{Map}(\mathbb{Z}_N, \mathbb{C})$ は有限次元なので実際には完備である(付録参照)。係数体は $\mathbb{F}_N$ ではなく $\mathbb{C}$ であることに注意。