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数、特に整数に関する記事。

グリーン・タオ論文の§10を読む(その一)

§10 Correlation estimates for \Lambda_Rを読みます。前節において、Goldston-Yıldırım型定理A, Bを証明することに全てが帰着されました。この記事ではGoldston-Yıldırım型定理Aを証明します。ただし、Riemannゼータ関数が関わるコンタワー積分の漸近挙動に関する補題の証明は後まわしにします。

(再掲) Goldston-Yıldırım型定理A (Proposition, 9.5) m, tを正整数とし、1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq tに対して整数L_{ij}m個のベクトル(L_{ij})_{j=1}^tがどの二つを取っても\mathbb{Q}上一次独立であるようにとる。\left|L_{ij}\right| \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2}が成り立つような十分大きいNに対して整数b_i \ (1 \leq i \leq m)を任意にとって、1 \leq i \leq mに対して線形形式 \psi_i\colon \mathbb{Z}^t \to \mathbb{Z}
\displaystyle \psi_i(\boldsymbol{x}) := \sum_{j=1}^tL_{ij}x_j+b_i,\quad \boldsymbol{x}=(x_1, \dots, x_t) \in \mathbb{Z}^t
と定める。Wと互いに素な整数1 \leq b < Wをとって、\theta_i(\boldsymbol{x}):=W\psi_i(\boldsymbol{x})+bとする。1 \leq i \leq mに対してI_i \subset \mathbb{R}を長さがR^{10m}以上の区間とし、B
\displaystyle B:=\Biggl(\prod_{i=1}^tI_i \Biggr)\cap \mathbb{Z}^t
とする(b_i, \psi_i, \theta_i, W, b, R, I_i, BN依存であることに注意)。このとき、
\displaystyle \mathbb{E}\left(\left. \Lambda_R(\theta_1(\boldsymbol{x}) )^2\cdots \Lambda_R(\theta_m(\boldsymbol{x}) )^2 \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) = \left(1+o_{m, t}(1)\right) \left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m −①
が成り立つ。

定理Aの証明中に幾つかの補題を用意しながら進めます。

証明. まずは①の左辺を書き換えていく。

\Lambda_Rの定義に基づいた変形

切断約数和の定義によって、①の左辺は

\begin{align} &\mathbb{E}\Biggl(\prod_{i=1}^m\sum_{\substack{d_i, d_i' \leq R \\ d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})}}\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'} \ \left| \ \boldsymbol{x} \in B\Biggr)\right. \\ &= \left.\mathbb{E}\left(\sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'} \mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) \\ &= \sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right) \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right)\end{align}

と変形できる。Möbius関数の定義より、d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m'(今後(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')のような略記を用いる)は無平方なもののみを動けばよいことに注意する。

期待値からのB消去

(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')に対して、D=D(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')

\displaystyle D:=\mathrm{lcm}(d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m')

と定義する。各iに対してd_i, d_i' \leq Rなので、D \leq R^{2m}である。このとき、\displaystyle \prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i'\mid \theta_i(\boldsymbol{x})}\boldsymbol{x}の各成分について周期Dである。理由: \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}' \in \mathbb{Z}^tの各成分がDを法として合同であれば、\theta_iの定義より

\displaystyle \theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv \theta_i(\boldsymbol{x}') \pmod{D}

である。よって、d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})であることとd_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x}')であることは同値である 従って、この関数は\mathbb{Z}_D^tの関数としてwell-definedであることがわかった(任意に代表元をとって定義することができる)。

このことと、I_iの長さがR^{10m}以上であることから、

\displaystyle \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) = \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) + O_t(R^{-8m})

Bを消去できる。理由:Dの完全代表系として\{0, 1, \dots, D-1\}をとって、各成分を代表元に送る写像による\mathbb{Z}_D^tの像を考える(t次元格子点立方体)。Bにはそのt次元格子点立方体の平行移動が\displaystyle \prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]個入るので、

\begin{align} &\#B \times \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in B\right) \\ &= \prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t \times \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) + O\left(\#B-\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t\right)\end{align}

が成り立つ。

\displaystyle \#B-\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t < \prod_{i=1}^t\#(I_i \cap \mathbb{Z})-\prod_{i=1}^t(\#(I_i \cap \mathbb{Z})-D)

なので、I_iの長さとDに関するバウンドから、これを\#Bで割ったものはO_t(R^{2m}/R^{10m}) = O_t(R^{-8m})と評価できる。言い換えると

\displaystyle \frac{1}{\#B}\prod_{i=1}^t\left[\frac{\#(I_i \cap \mathbb{Z})}{D}\right]\times D^t=1+O_t(R^{-8m})

でもあるので所望の公式が得られる

R \to \inftyであることから、

\begin{align} &\sum_{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right)O_t(R^{-8m}) \\ &=O\left(R^{2m}\log^{2m}R\cdot O_t(R^{-8m})\right) = O_t(R^{-6m}\log^{2m}R)=o_{m, t}\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}

なので、

\begin{align} &\sum_{\substack{d_1, \dots, d_m, d_1', \dots, d_m' \leq R \\ \text{square-free}}}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log \frac{R}{d_i}\log \frac{R}{d_i'}\right) \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \left(1+o_{m, t}(1)\right) \left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\end{align} −②

を示すことに帰着された*1

中国式剰余定理の適用

p \mid Dなる素数と\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_{D}^tに対して、各成分を\bmod{p}したベクトルを\boldsymbol{x}_p \in \mathbb{Z}_p^tと表すことにする*2。集合X_{\boldsymbol{d}}(p)

\displaystyle X_{\boldsymbol{d}}(p) := \{1 \leq i \leq m \mid p \mid d_i\}

と定義すると、無平方な場合のみを考えていることと中国式剰余定理より

\begin{align} \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\mathbf{1}_{d_i, d_i' \mid \theta_i(\boldsymbol{x})} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) &= \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i=1}^m\prod_{p \mid d_id_i'}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}_p) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \left.\mathbb{E}\left(\prod_{p \mid D}\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}_p) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_D^t\right) \\ &= \prod_{p \mid D}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right) \\ &= \prod_{p}\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right)\end{align}

と変形できる。ここで、最後から二番目の等号は下から上に展開すればわかる。よって、X \subset \{1, \dots, m\}に対して

\displaystyle \omega_X(p) := \left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X}\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right)

と略記することにすれば、②の左辺は

\displaystyle \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in (\mathbb{Z}^+)^{2m}}\left(\prod_{i=1}^m\mu(d_i)\mu(d_i')\log_+\frac{R}{d_i}\log_+\frac{R}{d_i'}\right)\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p) −③

と書けることがわかった。

補題1 (\log_+xのコンタワー積分表示) コンタワー\Gamma_1をパラメータ表示
\displaystyle \Gamma_1(t) := \frac{1}{\log R}+\sqrt{-1}t, \quad -\infty < t < \infty
で定義する。このとき、x > 0に対して、積分表示
\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}\int_{\Gamma_1}\frac{x^z}{z^2}dz = \log_+x
がある。

補題1の証明. a > 0に対してコンタワー\Gamma_1^{(a)}をパラメータ表示

\displaystyle \Gamma_1^{(a)}(t) := a+\sqrt{-1}t, \quad -\infty < t < \infty

で定義し、

\displaystyle F_a(x) := \int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{x^z}{z^2}dz

とおく。依存パラメータの表示は省略することにして、

\begin{align} &I_1:=\int_{-r}^r\frac{x^{a+\sqrt{-1}t}}{(a+\sqrt{-1}t)^2}dt, \quad I_2:=\int_{r}^{-r}\frac{x^{-a+\sqrt{-1}t}}{(-a+\sqrt{-1}t)^2}dt, \\ &J_1:=\int_a^{-a}\frac{x^{t+\sqrt{-1}r}}{(t+\sqrt{-1}r)^2}dt, \quad J_2:=\int_{-a}^a\frac{x^{t-\sqrt{-1}r}}{(t-\sqrt{-1}r)^2}dt\end{align}

とすると、留数定理によって

\displaystyle I_1+J_1+I_2+J_2= 2\pi\sqrt{-1}\log x

を得る。変数変換によって、I_1(x) = -I_2(x^{-1}), \ J_1(x) = -J_2(x^{-1})がわかり、

\displaystyle \left|J_1\right| \leq \int_{-a}^a\frac{x^t}{r^2+t^2}dt \xrightarrow{r \to \infty} 0

なので、

\displaystyle F_a(x)-F_a\left(\frac{1}{x}\right) = 2\pi\sqrt{-1}\log x

が示された。従って、あとはx < 1であればF_a(x) = 0であることを示せばよい。b > aをとって先ほどと同様に長方形のコンタワー積分を考えると今度は留数がないのでF_a(x) = F_b(x)がわかる。すなわち、aに依存せずに値が決まる。そうして、x < 1のとき

\displaystyle \left|\int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{x^z}{z^2}dz\right| \leq \int_{\Gamma_1^{(a)}}\frac{\left|dz\right|}{\left|z\right|^2}=\int_{–\infty}^{\infty}\frac{dt}{a^2+t^2}=\frac{\pi}{a}

なので、aの任意性からF_a(x) = 0でなければならない。 Q.E.D.

積分表示

複素変数のベクトルを\boldsymbol{z}=(z_1, \dots, z_m), \ \boldsymbol{z}'=(z_1', \dots, z_m')と書くことにし、F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')

\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') := \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in (\mathbb{Z}^+)^{2m}}\left(\prod_{i=1}^m\frac{\mu(d_i)\mu(d_i')}{d_i^{z_i}d_i'^{z_i'}}\right)\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)

と定義すると、補題1より③の左辺は

\displaystyle \frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i'

と積分表示される。

補題2 (Euler積表示) 素数p毎にE_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')
\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\sum_{X, X' \subset \{1, \dots, m\}}\frac{(-1)^{\#X+\#X'}\omega_{X\cup X'}(p)}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}
と定義する。このとき、F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')は領域\{(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \in \mathbb{C}^{2m} \mid \mathrm{Re}(z_i), \ \mathrm{Re}(z_i') > 1, \ 1 \leq i \leq m\}
Euler積表示
\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \prod_pE_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')
をもつ。

証明. \mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)で無平方な正整数全体のなす集合とする。(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}に対してF_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')

\displaystyle F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{i=1}^m\frac{\mu(d_i)\mu(d_i')}{d_i^{z_i}d_i'^{z_i'}}\prod_p\omega_{X_{\boldsymbol{d}}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}'}(p)}(p)

と定義すると、

\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \sum_{(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}}F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')

が成り立つ。\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2が各成分毎に互いに素であるとき、(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_2) = 1と書くことにする。このとき、(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_2) = 1かつ(\boldsymbol{d}_1', \boldsymbol{d}_2') = 1であれば

\displaystyle F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2, \boldsymbol{d}_1'\boldsymbol{d}_2')=F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_1, \boldsymbol{d}_1')F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_2, \boldsymbol{d}_2')

が成り立つ(\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2などは成分毎に積を取る)。理由: Möbius関数および累乗は乗法的関数なので、各素数pに対して

\displaystyle \omega_{X_{\boldsymbol{d}_1\boldsymbol{d}_2}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_1'\boldsymbol{d}_2'}(p)}(p)=\omega_{X_{\boldsymbol{d}_1}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_1'}(p)}(p)\times \omega_{X_{\boldsymbol{d}_2}(p)\cup X_{\boldsymbol{d}_2'}(p)}(p)

が成り立つことを確認すればよい。これは、

\displaystyle \omega_{X}(p)=\omega_{X_1}(p)\times \omega_{X_2}(p)

と略記したとき、仮定からX=X_1\sqcup X_2と非交差和になっていることと、\omega_{\emptyset}(p)=1であることからわかる

収束性を後回しにして、まず形式的にEuler積表示を証明する。すなわち、

\displaystyle \prod_p\sum_{X, X' \subset \{1, \dots, m\}}\frac{(-1)^{\#X+\#X'}\omega_{X\cup X'}(p)}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}

を形式的に展開する。素数p_1, \dots, p_nと集合X_1, X_1', \dots, X_n, X_n'というデータに対応する展開項を考える。各番号lに対してX_lX_l'の元の成分をp_lとし、それ以外のところを1にした整数の2m-組を(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')と書くことにする。すると、定義より

F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')=\displaystyle \frac{(-1)^{\#X_l+\#X_l'}\omega_{X_l\cup X_l'}(p_l)}{p_l^{\sum_{i \in X_l}z_i+\sum_{i \in X_l'}z_i'}}

となっているので、考えている展開項は乗法性から

\displaystyle \prod_{l=1}^nF_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l') = F_{\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}')

となる。ここで、(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{l=1}^n(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')である。素因数分解の一意性によって任意の(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}') \in \left(\mathrm{Sqf}(\mathbb{Z}^+)\right)^{2m}(\boldsymbol{d}, \boldsymbol{d}'):=\prod_{l=1}^n(\boldsymbol{d}_l, \boldsymbol{d}_l')の形に一意的に分解されるので、形式的には所望のEuler積表示が成り立つことが示された。

次に収束性を見る。\sigma > 1とし、 \mathrm{Re}(z_i), \ \mathrm{Re}(z_i') > \sigma, \ (1 \leq i \leq m)とする。E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')X=X'=\emptysetの項は1であり、XまたはX'が空集合でなければ

\displaystyle \left|p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}\right| = p^{\sum_{i \in X}\mathrm{Re}(z_i)+\sum_{i \in X'}\mathrm{Re}(z_i')} \geq p^{\sigma}

なので、\omega_X(p) \leq 1であることと三角不等式より

\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1+O_m(p^{-\sigma})

となって、無限積の収束判定法から収束性が従う。 Q.E.D.

補題3 (局所因子の評価, Lemma 10.1) p \leq w(N)のとき、X \neq \emptysetであれば \omega_X(p)=0である。従って、E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1である。また、p > w(N)のときは、\#X=1であれば \omega_X(p)=p^{-1}, \ \#X\geq 2であれば \omega_X(p) \leq p^{-2}が成り立つ。

証明. p \leq w(N)とすると、Wの定義から任意の\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^tに対して

\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv b \not \equiv 0 \pmod{p}

である。従って、X \neq \emptysetならば \omega_X(p)=0が成り立つ。

p > w(N)かつ\#X=1とし、X=\{i\}であるとする。このとき、

\displaystyle \omega_X(p) = \left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}} \right| \boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^t\right).

今、W\mathbb{Z}_pで零でなく、\left|L_{ij}\right| \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2} < pなので、全ての1 \leq j \leq tに対してWL_{ij}\mathbb{Z}_pで零ということはない。よって、\theta_i \colon \mathbb{Z}_p^t \to \mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p^tによる一様被覆である。従って、§1, 4の補題より

\displaystyle \omega_X(p)=\left.\mathbb{E}\left(\mathbf{1}_{x \equiv 0 \pmod{p}} \right| x \in \mathbb{Z}_p\right) = p^{-1}

が得られる。

最後に、p > w(N)かつ\#X=2の場合を考える。まず、次が成り立つことに注意する: 線形形式W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i)はどの二つを取っても\bmod{p}で互いにスカラー倍とはならない。

理由: 或る\lambda \in \mathbb{Z}_pが存在して二つのi, i'に対して

W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i)=\lambda W(\psi_{i'}(\boldsymbol{x})-b_{i'})

となったと仮定する。このとき、p > w(N)より両辺をWで割ってもよいので、

\displaystyle \frac{L_{ij}}{L_{i'j}} \equiv \lambda \pmod{p}

が成り立つことがわかる。ここで、(a, q)=1, \ (a', q')=1, \ q, q' > 0, \ \left|a\right|, \left|a'\right|, q, q' \leq \frac{\sqrt{w(N)}}{2}なる整数a, a', q, q'

\displaystyle \frac{a}{q} \equiv \frac{a'}{q'} \pmod{p}

を満たすのはa/q=a'/q'のときのみであることに注意する。理由: 上記合同関係にあるときaq'-a'qpの整数倍となるが、

\displaystyle \left|aq'-a'q\right| \leq \left|a\right|q'+\left|a'\right|q \leq \frac{w(N)}{2} < p

なのでaq'-a'q=0である 従って、(L_{ij})_{j=1}^t(L_{i'j})_{j=1}^t\mathbb{Q}上一次独立であることに矛盾する

さて、示したいことは任意のi \in Xに対して\theta_i(\boldsymbol{x}) \equiv 0 \pmod{p}を満たす\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}_p^tが高々p^{t-2}個しか存在しないことであるが、そのような\boldsymbol{x}は少なくとも二つのi, i' \in Xに対して方程式

\begin{align} &W(\psi_i(\boldsymbol{x})-b_i) \equiv -(Wb_i+b) \pmod{p} \\ &W(\psi_{i'}(\boldsymbol{x})-b_{i'}) \equiv -(Wb_{i'}+b) \pmod{p}\end{align}

を満たす必要があり、直前で証明したことから、この連立方程式の解の個数はp^{t-2}個である。 Q.E.D.

補題3よりE_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')

\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_{i}'}-p^{-1-z_i-z_{i}'})+\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{\substack{X, X' \subset \{1, \dots, m\} \\ \#(X\cup X') \geq 2}}\frac{O(p^{-2})}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_{i}'}}

と書ける。これを次のように積E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')に分ける:

\begin{align} E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= \frac{E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')}{\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i'})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}} \\ E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:=\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i'})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'}) \\ E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')&:= \prod_{i=1}^m(1-p^{-1-z_i})(1-p^{-1-z_i'})(1-p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}.\end{align}

収束領域は後で調べることにして、j=1, 2, 3に対して無限積を

\displaystyle G_j(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\prod_pE_p^{(j)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')

と定義すると、補題2より

\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=G_1(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_2(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')

が成り立つ。

G_3の収束領域

Riemannゼータ関数のEuler積表示より、\mathrm{Re}(z_i), \mathrm{Re}(z_i') > 0において

\displaystyle G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}

が成り立つので、Riemannゼータ関数の解析接続により、G_3\mathbb{C}^{2m}に有理型接続される。

G_1, G_2の収束領域

定義 パラメータ\sigma > 0に対して、領域\mathcal{D}_{\sigma}^m \subset \mathbb{C}^{2m}
\displaystyle \mathcal{D}_{\sigma}^m := \left\{ (\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \in \mathbb{C}^{2m} \left| -\sigma < \mathrm{Re}(z_i), \mathrm{Re}(z_i') < 100, \ j=1, \dots, m \right\}\right.
と定義する。そして、任意の非負整数r \geq 0に対して、\mathcal{D}_{\sigma}^m上の2m変数解析関数G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')C^r(\mathcal{D}_{\sigma}^m)-ノルム\left\|G\right\|_{C^r(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}
\displaystyle \sup_{\substack{a_1, \dots, a_m, a_1', \dots, a_m' \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ a_1+\cdots +a_m+a_1'+\cdots +a_m' \leq r}}\left\|\left(\frac{\partial}{\partial z_1}\right)^{a_1}\cdots \left(\frac{\partial}{\partial z_m}\right)^{a_m}\left(\frac{\partial}{\partial z_1'}\right)^{a_1'}\cdots \left(\frac{\partial}{\partial z_m'}\right)^{a_m'}G\right\|_{L^{\infty}(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}
で定める(L^{\infty}(\mathcal{D}_{\sigma}^m)\sup-ノルム)。

この定義のもと、次が成立する:

補題4 (Lemma 10.3) G_1G_2\mathcal{D}_{1/6m}^mで絶対収束し、解析関数を定める。更に、評価

\begin{align}&\left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_m(1),\quad\left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1), \\ &G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1),\quad G_2(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m\end{align}
が成り立つ。

証明. まず、G_1の収束性を示す。p \leq w(N)のときはE_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1なので、p > w(N)のときを考える。補題3によるE_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')の表示式と等比級数の和の公式を用いて展開するとE_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')は上手く

\displaystyle \sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_{i}'}-p^{-1-z_i-z_{i}'})

の項が消えるように定義されていることがわかる。よって、\mathcal{D}_{1/6m}^mでは

\displaystyle E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = 1+O_m(p^{-2+\frac{2}{3m}})

であり、-2+2/3m < -1であるから無限積G_1は絶対収束する。このように評価できることと、一般にn^zの絶対値が\mathrm{Re}(z)のみで決まることから\left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_m(1)がわかる。無限積G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})1以外の展開項には「w(N)より大きい素因数のみから構成される自然数から作られる項」しか現れないので、G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1)が従う*3

G_2は高々w(N)個の素数に関する積なので収束性は問題にならない。すると、\left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1)も自明である。そうして、定義より

\displaystyle G_2(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \leq w(N)}\prod_{i=1}^m\frac{1-p^{-1}}{(1-p^{-1})^2}=\prod_{i=1}^m\prod_{p \leq w(N)}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m

と計算できる。 Q.E.D.

次の補題はKeyとなる漸近評価であるが、証明は付録にて実行される。

補題5 (Lemma 10.4) \mathcal{D}_{\sigma}^m上の2m変数解析関数G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')
\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} = \exp\left(O_{m, \sigma}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)
を満たしていると仮定する。このとき、或る\delta=\delta(m) > 0が存在して、漸近公式
\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO_{m, \sigma}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m, \sigma}(e^{-\delta\sqrt{\log R}})\end{align}
が成り立つ。

補題5を認めた上での証明の完成

G=G_1G_2, \ \sigma=1/6mとして補題5を適用する。Leibniz則と補題4より、0 \leq i \leq mに対して

\displaystyle \left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\leq O_{i, m, w(N)}(1)

なので、\displaystyle \lim_{N \to \infty}R=\inftyであることに注意すると、w(N)の増加測度が十分遅ければ

\displaystyle  \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} = \exp\left(O_{m}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)

を満たす。また、補題4より

\displaystyle G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=(1+o_m(1) )\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m

なので、補題5からの帰結は

\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m+\sum_{i=1}^mO_{m}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m}(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &=(1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m \end{align}

となり、定理Aの証明が完了する。

*1:実際には、この部分はo_{m, t}(1)ではなくo_m(1)を示すことができる。

*2:とうとう\mathbb{Z}_pという気持ち悪い記号が出てきたが、p進整数環ではなく\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}を表していることに注意。

*3:現状、個人的見解としてはo_m(1)部分はo_{m, w(N)}(1)でなければならないと思う。ただ、Thm 1.1の証明においてはw(N)は下からkのみに依存する関数で押さえらえれるのでw(N)依存を消すことができる。一方、Thm 1.2の証明ではw(N)は集合Aに依存して選択する必要があるので消せない。しかしながら、それはo_{k, \delta}(1)項がA依存するだけであって、定性的な定理であるThm 1.2の成立は揺るがない。