インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

高校数学

IMO1986 Problem 3

国際数学オリンピックで次のような問題が出題されました(出題文は変更)。正五角形の各頂点に整数を一つずつ割りあてる。五つの整数の和は正であるとする。連続する三頂点に割り当てられた整数について、が負である場合はをそれぞれに書き換える操作を行う。…

レスターの定理

じすがなぼ まずは歌いましょう。www.youtube.com参考記事: 三角形の五心の覚えておくべき性質を整理 | 高校数学の美しい物語 重心 三角形に対して、辺の中点をとする。辺, 辺についても同様に考えてを定義する。定理: 直線は一点で交わる。この一点を重心と…

IMO2006 Problem 6

2006年の国際数学オリンピックで次の定理を証明させる問題が出題されています。定理 凸多角形の各辺にその辺を一辺とするに含まれる三角形のうち面積が最大となるものを割り当てる。このとき、割り当てられた三角形の面積の全ての辺に対する総和はの面積の二…

18と長方形

は辺の長さが正整数で周長と面積がともにである正方形でない長方形が存在する唯一の整数です。これは三浦さんに教えてもらって知りました。証明は高校数学レベルです。

ルジャンドルの公式についての補足

は素数。Legendreの公式 mathtrain.jpintegers.hatenablog.com正整数の進展開をと書くことにすると*1、Legendreの公式はと書き換えることができます。理由: 次のように計算できる:この形まで変形してしまえば、次の京大の入試問題はいよいよ瞬殺です。京大文…

部分分数分解

何度でも言いたくなる魔法の言葉「ぶぶんぶんすうぶんかい」補題1 を体とし、とする。互いに素な多項式 によって と分解されているならば、が存在して、においてが成り立つ。証明. が互いに素であることから、が存在してが成り立つので、とおけばよい。 Q.E…

とある整数の問題

問 を以上の整数とする。以下の合成数から相異なる個の数をどのように選んでも互いに素でない二数を含むような最大の整数を求めよ。難しくはありません。挑戦する人のためにコメント欄には答えを書かないようお願いします。

すむーずぷりんちゃんさんの問題について

問題 (すむーずぷりんちゃん) を以上の整数とし、とおく。このとき、の多項式として次の整除関係が成り立つことを示せ:偶数,奇数.【証明求む】Σ k^m の計算をしていたら、画像のような法則性を見つけました。数学の腕に自信がある方、証明して(または反例を…

ディクソンの恒等式

Dixonの恒等式 (1891/1903) 非負整数に対し、が成り立つ。とおくと、mathtrain.jpで紹介されているとなります。正整数に対して、多項式 をで定義します。は を根に持つ次の多項式です。証明*1. を非負整数とする。多項式をと定義する。このとき、は個の整数 …

等式の証明

タワー分数から生まれ出でた予想がこちら #みらいけん数学デー pic.twitter.com/fXclt4qXDt— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月4日この等式を証明しましょう。integers.hatenablog.comで紹介したJacobiの三重積公式Jacobiの三重積 に対し、次の恒等式が成…

代数学の基本定理のCauchyの積分定理を用いた証明

代数学の基本定理の証明はたくさん知られています。個人的にはGalois理論を使った証明が好きです。インテジャーズでも位相空間論の言葉による証明を紹介しました:integers.hatenablog.com今日はBoasが1964年に発表した証明を紹介したいと思います。代数学の…

ラマヌジャンの初等的恒等式観賞会

図形の問題の解答

先日紹介した思い出の図形問題integers.hatenablog.comの解答を幾つか紹介します。 解答1 という条件から、図のようにとなるように点を導入する。このとき、かつが成り立ち、この状況において四角形が等脚台形になっていることはよく知られた通り。よって、…

記憶に残っている、ある図形の問題

私は中学生のときに地元の数学専門塾に通っていた。 冬期講習のときだった気がするが、とある図形の問題のことを今でも覚えている。 悪戦苦闘の末、見事自力で解くことが出来た。 その問題は次のようなものだ*1: 三角形の辺上に点があり、が成り立つとき、…

代数学の基本定理の位相空間論的証明

代数学の基本定理 (Gauss) 定数でない複素係数多項式は少なくとも一つの複素数根をもつ。この記事ではSenによる証明を紹介します。補題 が位相空間の間のproperな連続写像であり、がHausdorff局所コンパクト空間であるならば、は閉写像である。ここで、がpro…

多項式に関する簡単な問題

以前出題した問題の答を書いておきます: integers.hatenablog.com定理 を有理数体を含む体とする。が条件任意のに対し、が成り立つ。を満たすとき、が成り立つ。 証明1 とする。とを定義すると、と書けるとき、である。一変数の場合は定理が成り立つことは…

東大の碁石の問題

タイトルの問題は東大文系2001 白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ。 (*)その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残り…

相加相乗平均の不等式の内田康晴氏による証明の解説

2016/4/28, ロマンティック数学ナイトという素晴らしいイベントが開催されました。 ロマンティック数学ナイト数々の熱いプレゼンの中、蓑田恭秀氏のプレゼン『意外と深い「平均」の世界』を聞いて大変興味をもったのが、「2008年、高校教師である内田康晴氏…

sin(π/2+θ)=cosθ等の三角関数の公式の覚え方

今回は高校数学について記事を書いてみます。僕が高校生時代に用いていた、などの公式の覚え方を伝授します*1。 Step1 は単純に記憶してください。のみ符号が変わりません。 Step2 の場合はの場合はという図を思い浮かべます。図に書いてあるやなどをラベ…