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Prime Curios!というサイトに書かれていた事実「, , , ..., とアルファベットに小さい順に26個の素数を対応させて "A TWIN PRIME NUMBER" (ふたご素数)を一つの数字に変換して得られる数はふたご素数」であることを検証したいと思います。 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z が対応表なので、A TWIN PRIME NUMBERに対応する数はすなわち、がふたご素数と言っている…

これは鯵坂もっちょ氏が企画されたアドベントカレンダー好きな証明 Advent Calendar 2018 - Adventarの４日目の記事です。今回は今までに執筆したブログ記事の中から私の好きな証明を幾つか選んで紹介したいと思います。 全ての頂点のx座標, y座標が整数であるような正五角形が存在しないことの証明 ネイピア数が無理数であることの好きな証明 素数が無数に存在することの好きな証明 バーゼル問題の好きな証明 代数学の基本定理の好きな証明 1000009が素数でないこ…

が無理数であることはintegers.hatenablog.comで証明しており、が超越数であることもintegers.hatenablog.comで証明していますが、この記事では古くから知られている*1「が二次の有理数係数方程式を満たさないことの初等的証明」を紹介します。これは、の無理性証明にもなっています。証明. が二次の有理数係数方程式の根であったと仮定すると、整数が存在してが成り立つ。両辺をで割ると −①が得られる。ここで、と書けることを思い出す。とする。①の両辺を倍…

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの14日目の記事です。9日目はasangi_a4acさんによるitonayuta60.hateblo.jpでした。クリスマスが待ち遠しいですね。Advent Calendarの日程も半分を超えていますが、クリスマスまでもう少しの辛抱です。今日はRamanujanの論文を一つ読んでみようと思います。選んだ論文はS. Ramanujan, On the number of divisors of a…

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの10日目の記事です。9日目はru_sackさんによるhttp://stagnationpoint-y.tumblr.com/post/168336222377/prime-knot-912-150mm-150mm-%E9%89%9B%E7%AD%86-%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%AB%E7%B5%B5%E5%85%B7-%E3%82%B1%E3%83%B…

素数大富豪の大会を一度企画させていただこうと思います。以下、概要を書きます。 大会名 せきゅーん杯 企画・運営 せきゅーん・はなぶさん 開催日時 2018年1月14日(日曜日) 12:30受付開始, 13:00〜19:00 開催場所・参加費 場所: 東京。神田駅から近い会議室をレンタルしています。 参加費: 1000円。 参加申し込み connpass.com 対戦方式 １対１の二人対戦で予選リーグ及び決勝トーナメントを行う。1試合について、2本先取で勝ち。 参加人数 プレイ…

講演スライドを公開します。スライド番号や間違い等は再構成・修正してあります。 スライドはKeynoteで作成し、数式はLaTeXiTを利用して作成しました。 1枚目 2枚目 3枚目 4枚目 5枚目 6枚目*1 7枚目 8枚目*2 9枚目 10枚目 11枚目*3 12枚目*4 13枚目*5 14枚目*6 15枚目*7 16枚目*8 17枚目*9 18枚目*10 19枚目 20枚目 21枚目*11 22枚目 23枚目*12 24枚目 25枚目 26枚目 27枚目*13 28枚目 …

素数のもつ秩序。それは人類に幾度となく驚きと喜びを与えてくれました。そして、これからも与え続けてくれることでしょう。 素数の秩序に関する人類の最初の大きな勝利は素数定理 を発見し、証明したことだと思います。 素数の分布は高度に非自明で、一見すると何の法則性も見出せないように思えます。にも関わらず、このようにシンプルな漸近挙動を示すのは驚きです。 素数定理についての文献は日本語を含めて相当数存在しますし、このブログでもまとめています*1。 素数定理が証明されてから100年のとき…

昔、平方数を幾つか暗記したことと思いますが、立方数は暗記されているでしょうか？ 三乗数を並べて出来るいくつかの小さい素数 の三乗からの三乗までを大きいものから並べて出来る数：からまでの奇数の三乗を大きいものから並べて出来る数*1：からまでの素数の三乗を小さいものから並べて出来る数：をくっつけた数： おまけ はエマープですが、を番目の素数とするとき、です。 *1:も素数でこのような素数としては二番目のもの。小さい方から並べるとは素数ですが、が僕の好きな素数で割れます。

双子素数はちょっぴり面白い性質を持っています。なんと、とがともにに対してから始まる(十進法表記における桁の左端)のです！ ウヒョ〜〜〜〜〜〜

integers.hatenablog.com の続きです(Watkinsの結果)。 類数 (190個) 類数 (93個) 類数 (457個) 類数 (83個) 類数 (255個) 類数 (73個) 類数 (708個) 類数 (101個) 類数 (219個) 類数 (103個) 類数 (668個) 類数 (85個) 類数 (237個) 類数 (115個) 類数 (912個) 類数 (109個) 類数 (339個) 類数 (106個) 類数 (691個) 類数 (154個) 類…

この記事は日曜数学アドベントカレンダーの17番目の記事です。http://www.adventar.org/calendars/1777www.adventar.org昨日の記事はToshiki Takahashiさんのリープグラフと複素確率 | Advent Calendar 2016 | DIY Mathematics |でした。 今日は、キグロさんの20日の動画の予習的記事を書こうと思いました。次の問題を解いてみてください：問１ が無理数であることを示せ*1。 問２ が…

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療養中であったRamanujanの見舞いに行く途中、Hardyが乗ったタクシーのナンバーがであった。 Hardyが「その数はどうでもいい退屈な数字であった。凶兆でなければよいが」というと、Ramanujanは即座に「そんなことはありません。大変面白い数です。それは二つの(正の)三乗数の和で二通りに表すことができる最小の数です」 と返したと言われている。 この有名なエピソードからはラマヌジャンのタクシー数と呼ばれています。 こういう話を聞くと、というただの一つの数に愛着が湧いて…

integers.hatenablog.comにおいて、が奇素数となるようなものをサーチしました。その際、「の乗法性から絶対値が素数になるようなをサーチするにはが素数冪のときだけを考えれば十分である。」と述べました。これは値だけをサーチしたい場合には正しい主張ですが、そのような全てのを調べたいという目的の場合には間違いとなります。というのも、もしとなるようなが存在すれば(しかも仮にと互いに素だったと仮定すると)、も素数となるにも関わらずは素数冪ではないからです。というわけで、…

Ramanujanの関数シリーズがしばらく続いています。integers.hatenablog.comで次の定理を紹介しました：定理 (Lehmer 1965)の絶対値が素数となるような最小のはであり、である。の乗法性から絶対値が素数になるようなをサーチするにはが素数冪のときだけを考えれば十分ですが、最小であるが素数の二乗であったことは偶然だったのでしょうか？例えば、が素数となるような素数は存在しないのでしょうか？691：ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式 - INTEGE…

この記事ではABC予想とは何なのかを解説します。 根基 でない整数の根基をの素因数の積として定義します。すなわち、です(は素数を表す)。ただし、とします。定義から根基は必ず無平方(square-free)です。 トリプル 自然数の三つ組(ただし、)がABCトリプルであるとは、が互いに素であってが成り立つときに言います(上記関係式からはどの二つをとっても互いに素であることがわかります)。ここで、次の問題を考えます：ABCトリプルに対して ―（＊）が成り立つか？テキトーにABCト…

エイプリルフール記事 integers.hatenablog.com の問２の解説を行います。問２は次のような問題でした：問２ 階乗交代和を次のように定義する：また、の最小の素因数をとする。このとき、任意の自然数に対してが成り立つことを示せ。これも成り立ちません。Zivkovicがコンピュータを用いて次の事実を発見しました：定理１ これより、ならばが成り立ち、となって問題の主張する不等式は有限個のに対してしか成り立たないことがわかります。は素数です。 左階乗 Zivkovic…

tan1は有理数か？ tan1 は有理数か。ただし、角度は弧度法で表されている。— ( ｡•̀_•́｡) (@donnay1224) 2016年3月17日twitter.com無理数に決まっています。連ツイでも指摘されているように、の無理性を証明すれば十分です。実際、なので、の無理性からの無理性が言え、従っても無理数です。 cos2が無理数であることの証明 integers.hatenablog.com の第四証明と全く同じアイデアの証明を与えます。補題 を固定してとおく。こ…

定数でない有理数係数多項式の根とならないような複素数のことを超越数といいます。私が初めてこの概念を知ったのは中学二年生のときで、学校の図書館で読んだ本に載っていました。その中二病的な響きに憧れを抱いたのを覚えています。Hermiteは1873年にが超越数であることを証明しました。文献はいくらでもありますが、この記事ではの超越性証明を紹介したいと思います。C. Hermite, Sur la fonction exponentielle, Comptes rendus de l…

だって素数の無限性を出せるんだからね！！定理１ をを満たすような複素数とするとき、が成り立つ。Möbius関数についてはメビウス関数 - INTEGERSを参照してください。証明. をとおく。これらはで絶対収束し、解析関数を定める。 と計算できるので、両辺を微分することにより を得る。Möbius関数の記事における補題１によって、これはに等しいことがわかる。つまり、は微分方程式を満たすので、を得る。 Q.E.D.定理２ 素数は無数に存在する。証明. 素数が有限個しか存在しなか…

今回は二つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。一つ目は数列。自然数に対しての最小公倍数をと定義します： 二つ目はSylvester数列です。これは、、で定義される数列です。Sylvester数列については思い出深い話があるのですが、それについては別の記事で紹介します。今回は脇役です。定義式がEuclid数の定義に似ていますが、Sylvester数列を用いて素数の無限性を証明することもできます。Sylvester数列を用いた素数の無限性証明 定義式…

素数について。本当はFermat数の話をすべきですが、それは二番目の記事で書くことにして*1、今回はを考えます。を小数展開すると といった感じですが、最初の方の桁を(小数点を無視して)取り出して出来る整数であるやは素数ですね。もう少し先までやると、例えば は素数です。最初の641桁です。 *1:書きました：integers.hatenablog.com