インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

2343 の検索結果:

eが二次の有理数係数方程式を満たさないことの証明

が無理数であることはintegers.hatenablog.comで証明しており、が超越数であることもintegers.hatenablog.comで証明していますが、この記事では古くから知られている*1「が二次の有理数係数方程式を満たさないことの初等的証明」を紹介します。これは、の無理性証明にもなっています。証明. が二次の有理数係数方程式の根であったと仮定すると、整数が存在してが成り立つ。両辺をで割ると −①が得られる。ここで、と書けることを思い出す。とする。①の両辺を倍…

約数個数関数のラマヌジャンによる評価

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの14日目の記事です。9日目はasangi_a4acさんによるitonayuta60.hateblo.jpでした。クリスマスが待ち遠しいですね。Advent Calendarの日程も半分を超えていますが、クリスマスまでもう少しの辛抱です。今日はRamanujanの論文を一つ読んでみようと思います。選んだ論文はS. Ramanujan, On the number of divisors of a…

孙智伟による素数表現関数

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの10日目の記事です。9日目はru_sackさんによるhttp://stagnationpoint-y.tumblr.com/post/168336222377/prime-knot-912-150mm-150mm-鉛筆-アクリル絵具-ケント紙-交点数9stagnationpoint-y.tumblr.comでした。今日は中国人数学者孙智伟(Zhi Wei Sun)による素数を表現する関数に関す…

素数大富豪大会告知(結果報告追記)

素数大富豪の大会を一度企画させていただこうと思います。以下、概要を書きます。 大会名 せきゅーん杯 企画・運営 せきゅーん・はなぶさん 開催日時 2018年1月14日(日曜日) 12:30受付開始, 13:00〜19:00 開催場所・参加費 場所: 東京。神田駅から近い会議室をレンタルしています。 参加費: 1000円。 参加申し込み connpass.com 対戦方式 1対1の二人対戦で予選リーグ及び決勝トーナメントを行う。1試合について、2本先取で勝ち。 参加人数 プレイ…

素数の織り成す構造〜ガウスからグリーン・タオへ〜 MATH POWER 2017

講演スライドを公開します。スライド番号や間違い等は再構成・修正してあります。 スライドはKeynoteで作成し、数式はLaTeXiTを利用して作成しました。 1枚目 2枚目 3枚目 4枚目 5枚目 6枚目*1 7枚目 8枚目*2 9枚目 10枚目 11枚目*3 12枚目*4 13枚目*5 14枚目*6 15枚目*7 16枚目*8 17枚目*9 18枚目*10 19枚目 20枚目 21枚目*11 22枚目 23枚目*12 24枚目 25枚目 26枚目 27枚目*13 28枚目 …

等間隔に並ぶ素数を追い求めて〜グリーン・タオの定理〜

素数のもつ秩序。それは人類に幾度となく驚きと喜びを与えてくれました。そして、これからも与え続けてくれることでしょう。 素数の秩序に関する人類の最初の大きな勝利は素数定理 を発見し、証明したことだと思います。 素数の分布は高度に非自明で、一見すると何の法則性も見出せないように思えます。にも関わらず、このようにシンプルな漸近挙動を示すのは驚きです。 素数定理についての文献は日本語を含めて相当数存在しますし、このブログでもまとめています*1。 素数定理が証明されてから100年のとき…

立方数も暗記しよう

昔、平方数を幾つか暗記したことと思いますが、立法数は暗記されているでしょうか? 三乗数を並べて出来るいくつかの小さい素数 の三乗からの三乗までを大きいものから並べて出来る数:からまでの奇数の三乗を大きいものから並べて出来る数*1:からまでの素数の三乗を小さいものから並べて出来る数:をくっつけた数: おまけ はエマープですが、を番目の素数とするとき、です。 *1:も素数でこのような素数としては二番目のもの。小さい方から並べるとは素数ですが、が僕の好きな素数で割れます。

双子素数(19998989, 19998991)

双子素数はちょっぴり面白い性質を持っています。なんと、とがともにに対してから始まる(十進法表記における桁の左端)のです! ウヒョ〜〜〜〜〜〜

虚二次体の類数表(その二)

integers.hatenablog.com の続きです(Watkinsの結果)。 類数 (190個) 類数 (93個) 類数 (457個) 類数 (83個) 類数 (255個) 類数 (73個) 類数 (708個) 類数 (101個) 類数 (219個) 類数 (103個) 類数 (668個) 類数 (85個) 類数 (237個) 類数 (115個) 類数 (912個) 類数 (109個) 類数 (339個) 類数 (106個) 類数 (691個) 類数 (154個) 類…

「√2+√3+√5+√7は無理数である」など

この記事は日曜数学アドベントカレンダーの17番目の記事です。http://www.adventar.org/calendars/1777www.adventar.org昨日の記事はToshiki Takahashiさんのリープグラフと複素確率 | Advent Calendar 2016 | DIY Mathematics |でした。 今日は、キグロさんの20日の動画の予習的記事を書こうと思いました。次の問題を解いてみてください:問1 が無理数であることを示せ*1。 問2 が…

ζ(5)の値を少しだけ

…666959561323437057379966 4347096536292586815018946150767362471181941520396340741293918178953200130435707 5561183358438473989426512663044583658758531395097536401341262076511737318465328 3131003233954060658413285875134135292866580514468770140…

100以下の自然数に魅せられて

療養中であったRamanujanの見舞いに行く途中、Hardyが乗ったタクシーのナンバーがであった。 Hardyが「その数はどうでもいい退屈な数字であった。凶兆でなければよいが」というと、Ramanujanは即座に「そんなことはありません。大変面白い数です。それは二つの(正の)三乗数の和で二通りに表すことができる最小の数です」 と返したと言われている。 この有名なエピソードからはラマヌジャンのタクシー数と呼ばれています。 こういう話を聞くと、というただの一つの数に愛着が湧いて…

ロジェ・アペリーと奇跡の証明〜数学界を震撼させた伝説の老兵〜

この記事ではApéryの定理Apéryの定理 は無理数である。ここで、である(Apéry定数と呼ばれることもある)。のApéryによる証明に纏わる歴史および証明の解説を行います。 アペリー・ショック Apéryの生涯 Apéryの論文に書かれていること 無理数であることを示すには何を示せばよいか 証明の概略 証明の細部 Apéryの驚くべき主張〜Beukersの証明との比較〜 Apéryはどのようにして近似列を見つけたのか? 参考文献 アペリー・ショック フランスはマルセイユ…

Ramanujanのτ関数に関するLygeros-Rozierの定理

integers.hatenablog.comにおいて、が奇素数となるようなものをサーチしました。その際、「の乗法性から絶対値が素数になるようなをサーチするにはが素数冪のときだけを考えれば十分である。」と述べました。これは値だけをサーチしたい場合には正しい主張ですが、そのような全てのを調べたいという目的の場合には間違いとなります。というのも、もしとなるようなが存在すれば(しかも仮にと互いに素だったと仮定すると)、も素数となるにも関わらずは素数冪ではないからです。というわけで、…

|τ(n)|が素数となる数値例

Ramanujanの関数シリーズがしばらく続いています。integers.hatenablog.comで次の定理を紹介しました:定理 (Lehmer 1965)の絶対値が素数となるような最小のはであり、である。の乗法性から絶対値が素数になるようなをサーチするにはが素数冪のときだけを考えれば十分ですが、最小であるが素数の二乗であったことは偶然だったのでしょうか?例えば、が素数となるような素数は存在しないのでしょうか?691:ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式 - INTEGE…

ABC予想

この記事ではABC予想とは何なのかを解説します。 根基 でない整数の根基をの素因数の積として定義します。すなわち、です(は素数を表す)。ただし、とします。定義から根基は必ず無平方(square-free)です。 トリプル 自然数の三つ組(ただし、)がABCトリプルであるとは、が互いに素であってが成り立つときに言います(上記関係式からはどの二つをとっても互いに素であることがわかります)。ここで、次の問題を考えます:ABCトリプルに対して ―(*)が成り立つか?テキトーにABCト…

3612703:交代階乗和、54503:左階乗

エイプリルフール記事 integers.hatenablog.com の問2の解説を行います。問2は次のような問題でした:問2 階乗交代和を次のように定義する:また、の最小の素因数をとする。このとき、任意の自然数に対してが成り立つことを示せ。これも成り立ちません。Zivkovicがコンピュータを用いて次の事実を発見しました:定理1 これより、ならばが成り立ち、となって問題の主張する不等式は有限個のに対してしか成り立たないことがわかります。は素数です。 左階乗 Zivkovic…

tan1が無理数であることの証明

tan1は有理数か? tan1 は有理数か。ただし、角度は弧度法で表されている。— ( 。•̀_•́。) (@donnay1224) 2016年3月17日twitter.com無理数に決まっています。連ツイでも指摘されているように、の無理性を証明すれば十分です。実際、なので、の無理性からの無理性が言え、従っても無理数です。 cos2が無理数であることの証明 integers.hatenablog.com の第四証明と全く同じアイデアの証明を与えます。補題 を固定してとおく。こ…

eが超越数であることの証明

定数でない有理数係数多項式の根とならないような複素数のことを超越数といいます。私が初めてこの概念を知ったのは中学二年生のときで、学校の図書館で読んだ本に載っていました。その中二病的な響きに憧れを抱いたのを覚えています。Hermiteは1873年にが超越数であることを証明しました。文献はいくらでもありますが、この記事ではの超越性証明を紹介したいと思います。C. Hermite, Sur la fonction exponentielle, Comptes rendus de l…

eの無限積表示と素数の無限性

だって素数の無限性を出せるんだからね!!定理1 をを満たすような複素数とするとき、が成り立つ。Möbius関数についてはメビウス関数 - INTEGERSを参照してください。証明. をとおく。これらはで絶対収束し、解析関数を定める。 と計算できるので、両辺を微分することにより を得る。Möbius関数の記事における補題1によって、これはに等しいことがわかる。つまり、は微分方程式を満たすので、を得る。 Q.E.D.定理2 素数は無数に存在する。証明. 素数が有限個しか存在しなか…

数列lcm[1,2,…,n]のgrowthと素数定理

今回は二つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。一つ目は数列。自然数に対しての最小公倍数をと定義します: 二つ目はSylvester数列です。これは、、で定義される数列です。Sylvester数列については思い出深い話があるのですが、それについては別の記事で紹介します。今回は脇役です。定義式がEuclid数の定義に似ていますが、Sylvester数列を用いて素数の無限性を証明することもできます。Sylvester数列を用いた素数の無限性証明 定義式…

√3の小数展開

素数について。本当はFermat数の話をすべきですが、それは二番目の記事で書くことにして*1、今回はを考えます。を小数展開すると といった感じですが、最初の方の桁を(小数点を無視して)取り出して出来る整数であるやは素数ですね。もう少し先までやると、例えば は素数です。最初の641桁です。 *1:書きました:integers.hatenablog.com