インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数

1531415939の素因数分解

「いちごサンキュー」と語呂合わせできる数 は合成数ですが、をで挟んだとをで挟んだは素数です。さて、の真ん中に円周率に現れる数字列(←素数)を挿入した整数を考えましょう。実はの素因数分解の二つの素因数はからの並べ替えになっています。

双子素数(19998989, 19998991)

双子素数はちょっぴり面白い性質を持っています。なんと、とがともにに対してから始まる(十進法表記における桁の左端)のです! ウヒョ〜〜〜〜〜〜

セブンイレブン

「セブンイレブン」のことを何回説明しても僕のおばあちゃんは「イレブンセブン」と言いますが、を7回、を11回書いた は素数です。似たような素数として、を11回、を5回書いた も素数です。

311の性質

は素数ですが、連続する素数の和として四通りに表すことのできる最小の数です。

1966640443

以下の素数達は、番目の素数 を十進法で書いたときに、番号がの数字列の端を幾つか切って出来る数となっているような素数です。特に、がの両端の数字を落としたものになっている素数はしか見つかっていません。

1193とか1201のはなし

過去記事integers.hatenablog.comで紹介したように、から続く八つの素数は全てエマープでしたが、の一つ前の素数もエマープですし、その前のもエマープでした。つまり、からの十連続素数は全てエマープなのです。ちなみに、でです。過去記事でが抜けていたの…

素数サークル予想

予想 任意に正整数をとる。からの整数を一つずつ円状に並べるとき、隣り合うどの二数の和も素数となるような並べ方が必ず存在する。例えば、のときにからをという並びで円状に並べたとき、と全て素数になっています。ところで、は素数ですね。

7499を9乗せよ

は素数ですが、ちょっとした面白いことがあって、9乗するとと、十進法表記でで始まりで終わる数となります。 素数という条件を除けばがあり、 9乗すると始まりに同じ数が並ぶという条件だけであれば、自明なを除いて などがあります。これを眺めていると、「…

Cicada 3301

は464番目の素数です。すなわち、番目の素数をで表すことにすれば であり、この後には と続きます。ところで、素数と似たものとして、ラッキー数がありました。integers.hatenablog.com番目のラッキー数をで表すことにすると、実はとなっています!このよう…

1149851:29番目のリュカ数

29番目のLucas数 はという性質を持っています(各桁の総和がインデックスに等しい)。はこのような性質を持つ最小のLucas数です(正のインデックスについて)。各桁の総和が素数になるという性質を持つの次のLucas数はで、となっています。のもう一つの面白い性…

19:(素数の三乗) - (素数の三乗) と書ける唯一の素数

は素数 を用いて と書ける唯一の素数です。ところで、証明はとても簡単です。因数分解公式によれば でなければならないからです。同じことを一般的に考えることにすると、素数に対して が素数になるのはいつか?という問題となります。

151157

はポケモン素数であり、の次の素数はでした。integers.hatenablog.com実は、連続する素数をくっつけて出来る数がエマープになるような最小のものは です。ちなみに、もう一つのポケモン素数の次の素数も6つ先のでしたが、はエマープではないものの素数です。…

1801241230056600523以下の素数の逆数和は4を超える

当ブログでも既に何通りもの証明を解説しているように、素数の逆数の和は発散しますが素数 までの素数の逆数和がそれぞれを始めて超えることが知られています。例えば、E. Bach, D. Klyve, J. P. Sorensonによって及びが得られています。16843:ウォルステン…

42の繰り返し+1

五つの数は全て素数です。ちなみにです。 なのでの倍数になっています。(や)はのようにとを結合させて出来る素数ですが、このシリーズは小さい順にとなっています。ついでにとを結合させて出来る素数シリーズはとなっていますが、両方のシリーズによって双子…

40476

を以下の素数の個数、を番目の素数とします。このとき、, であり、なので、が成り立ちます。

108881

は各桁の数が全て三乗数(すなわち、)であるような最小のエマープです。エマープという条件を緩めて単に素数でよければ、までにがあります。ちなみに、から続く4つの素数は素数の鎖をなします。定義 を番目の素数とする。連続する個の素数 が素数の鎖をなす…

三木の恒等式をリーマンゼータ値の関係式に書き直す

は以上の整数とします。関-Bernoulli数に関するEuler-Ramanujanの恒等式をEulerの公式を使ってRiemannゼータ関数の偶数値の関係式であるWilliamsの公式に書き換えることができました(リーマンゼータ関数 - INTEGERS)。同様にして、三木の恒等式をEulerの公式…

908の性質

はと四つの素数の和として表すことができますが、これら四つの素数のうち三つをどのように選んで足し合わせてもと平方数になっています。このように相異なる四つの素数の和として表せて、その四つの素数のうち三つをどのように選んで足し合わせても平方数に…

1709の真ん中に57を挿入せよ

は素数ですが、達はみんな素数です。

2147番目の素数から2150番目の素数

は素数ということでしたが、2147番目の素数から続く四つの素数は覚えやすいです。 ちなみに(やばい)は素数ですが(やばい無給)も素数です。

YAIBAサンキュー

YAIBAという漫画が面白かった記憶はあるのですが、内容は覚えていません。ところで、は素数ですが、Fibonacci数 が素数であることが Broadhurst-Waterによって2001年に証明されています*1。 *1:英語版Wikipediaではが確定素数の仲間入りをしているのですが要…

216:素数と三角数の和

と言えばというuniqueな性質を持つ数ですが、が関わる面白い予想があるので紹介します。 人は整数を何らかの和の形に表したくなる生き物である。 我々人類は任意の正整数を四つの平方数の和として表してみたり、integers.hatenablog.com三つの三角数の和とし…

ガウス・ルジャンドルの三平方の定理

私の整数好きを決定付けた本があります。水上 勉 (著), 黒川 信重 (監修)『チャレンジ! 整数の問題 199』単行本 – 2005/4, 日本評論社私は高校生のときにこの本を夢中になって読みました。思えば、高校生の私をワクワクさせてくれたこの本の続きを書いている…

40144044691:極端に弱い素数

は素数です。 みんな大好きで終わり、がたくさん出てくるので覚えやすいですが、面白い特徴があります。 まず、は弱い素数です。つまり、どの桁であっても一つ数を変更すると素数でなくなります。 実は、このはただの弱い素数ではありません。 例えば、最小…

カーマイケルのλ関数と絶対擬素数

Eulerの定理の精密化であるCarmichaelの定理を証明し、絶対擬素数の定義と判定法を与える。

全ハーシャッド数

といえば最小の完全数であるという事実が真っ先に思い浮かびますが、最大の全ハーシャッド数であるという性質も持っています。ハーシャッド数とは「各桁の数の総和が自分自身を割り切るような正整数」として定義され、integers.hatenablog.comにおいて「ハー…

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は素数ですが、は全て素数です。

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はからを一つずつ使った素数ですが、少しだけ面白い特徴があります。各桁における を に置き換えて得られる整数も素数なのです。

ヴィーフェリッヒ数

は知られている最大のWieferich数です。Fermatの小定理より奇素数に対してが成り立ちますが、が成り立つようなのことをWieferich素数というのでした:1093, 3511:ヴィーフェリッヒ素数 - INTEGERS 1093と3511について - INTEGERSところで、Fermatの小定理を…

やたらすごい素数

1089桁のやばい素数の紹介。