インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

メルテンスの第二定理

この記事ではMertensの第二定理を証明します。素数の逆数の和が発散することについてはこれまでに三通りの証明の与えました: integers.hatenablog.com integers.hatenablog.com この定理の精密版がMertensの第二定理です。この記事でも漸近挙動はのみを考え…

メビウス関数

この記事では整数論では頻出の数論的関数であるMöbius関数について、その基本事項をまとめます。 定義 定義 関数のことを数論的関数という。「関数」のように表すことが多い。定義 Möbius関数をによって定義する。補題1 のとき、が成り立つ。証明. Möbius関…

ベルトランの仮説

この記事では、次の記事での美しい性質を紹介するための準備として、Bertrandの仮説と呼ばれる素数に関する非常に美しい定理を証明します。Bertrandの仮説 (1845) 任意の自然数に対して、を満たすような素数 が少なくとも一つ存在する。要は、てんでんばらば…

メルテンスの第一定理

定理 の証明を以前取り上げました: integers.hatenablog.com 今回は、この定理の精密版であるMertensの第一定理の証明を紹介します。 Mertensの第一定理 Mertensの第一定理 例によって例のごとく、Landauの記号はのみ扱います。Mertensの第二定理、第三定理…

チェビシェフの定理

この記事では素数定理の弱い版であるChebyshevの定理を証明します。素数定理やその他の定理の証明に必要となるので先に準備しておこうという記事です。最初に、この記事を読むための前提知識となる記事をあげておきます: integers.hatenablog.com integers.h…

アーベルの総和法

後の記事で基本的な役割を果たすことになるAbelの総和法を紹介しておきます。Abelの総和法 を実数列、を上定義された級関数、 とする。このとき、が成り立つ。証明. のとき、なのでまた、に注意して、以上を合わせることにより所望の等式が得られる。 Q.E.D.…

tsujimotter氏の記事の補足: 正則素数とFLTのファーストケース

新年早々にtsujimotter氏がFLT(Fermat's little theoremの方ではなく、Fermat's last theorem)に関する大変素晴らしい記事を書かれました: tsujimotter.hatenablog.com tsujimotter氏の記事では証明における最大のキーポイントが解説されています。そこで、…

フェルマーのクリスマス定理

クリスマス・イヴ特別記事を書きます。38年ぶりにクリスマスの夜に満月となるそうです。楽しみですね。私は今日も、明日も数学をします。まさにXmath!今日、紹介するのは「Fermatのクリスマス定理」です。「Fermatの小定理」でも「Fermatの最終定理」でもな…

2015の階乗を10の502乗で割った数の一の位は?

この記事は「日曜数学Advent Calendar」の19番目の記事として寄稿しています: www.adventar.org前回はToshiki Takahashi氏による「情報理論の物理学的基礎」でした。 | DIY Mathematics | Advent Calendar 2015 |私自身は10番目の記事として integers.hatena…

ζ*({2}^m) \in Qπ^{2m}の初等的証明

本記事ではMatsuoka[1]によるバーゼル問題の証明法を自然に拡張して、等号付多重ゼータ値に関する古典的結果の初等的別証明を与える*1。 Riemannゼータ関数の正の偶数における値 多重ゼータ値、等号付多重ゼータ値、多重調和和 定積分計算による証明 参考文…