インテジャーズ

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

定理解説

指数持ち上げ補題

次の補題を証明します:指数持ち上げ補題 を奇素数とし、で割り切れない相異なる整数がなる関係を満たすとき、任意の正整数に対してが成り立つ。ただし、の一意的な表示に対して、と定める。証明. として、と表す()。因数分解の右辺の右側の因数を☆とする…

数列lcm[1,2,…,n]のgrowthと素数定理

今回は2つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。一つ目は数列。自然数に対しての最小公倍数をと定義します: 二つ目はSylvester数列です。これは、、で定義される数列です。Sylvester数列については思い出深い話があるのですが…

素数定理の初等的証明(完結編)

この記事はSelbergによる素数定理の初等的証明を全四回で解説する試みの完結編である。これまでの記事を再掲しておく: integers.hatenablog.com integers.hatenablog.com integers.hatenablog.comこれまでの記号表記で考えると、素数定理はと同値であった。…

素数定理の初等的証明(R(x)の評価編)

この記事は全四回にわたる『素数定理の初等的証明』の第三回目の記事です:integers.hatenablog.com integers.hatenablog.com引き続きは素数、漸近挙動はのみを考えることとし、をによって定義する。『素数定理の初等的証明(予告編)』の最後の大雑把な証明…

素数定理の初等的証明(Selbergの漸近公式編)

この記事は全4回で素数定理の初等的証明を紹介する試みの二回目の記事である: integers.hatenablog.comこの記事ではSelbergの漸近公式を証明する。漸近公式は全てで考える。また、は(必ずしも異なるとは限らない)素数とする。自然数に対して、とする。こ…

素数定理の初等的証明(予告編)

いよいよ素数に関する歴史的大結果である素数定理の証明を紹介します。素数定理の証明には大きく分けてRiemannのゼータ関数を使った証明と初等的証明の二通りの方法があります。このブログを始めたときから両方の証明を紹介するつもりで、当初の考えではゼー…

素数に関する漸近公式

今回は準備の記事です。漸近公式を6つ証明します。漸近公式は全てで考えます。 準備 integers.hatenablog.com で証明した ―①およびintegers.hatenablog.com で証明した補題 ―②とMertensの第一定理を用います。また、これまでも大活躍してきたAbelの総和法 i…

ブルンの篩

Brunの定理を証明するためにBrunの篩を必要な分に限定してまとめます。Eratosthenesの篩についてはWikipediaの記事 エラトステネスの篩 - Wikipedia の「理論的考察」の項をご覧ください。Brunの篩の方が変数が増えており、自由度が増していることがわかりま…

メルテンスの第三定理

この記事ではMertensの定理の最終形態である、Mertensの第三定理の証明を紹介します。主張を述べる前にEulerの定数を次の記事で思い出しておきましょう: integers.hatenablog.com 漸近公式は全てで考えます。また、和や積におけるは素数を表します。Mertens…

数論的関数 ω(n)

この記事では数論的関数を導入して、定理を二つ証明します。 定義 定義 自然数に対して、の素因数全体のなす集合をと表す。ただし、。定義 自然数に対して、によってを定義する。 平均的振る舞い の振る舞いは高度に非自明です。順調に値が大きくなっていく…

メルテンスの第二定理

この記事ではMertensの第二定理を証明します。素数の逆数の和が発散することについてはこれまでに三通りの証明の与えました: integers.hatenablog.com integers.hatenablog.com この定理の精密版がMertensの第二定理です。この記事でも漸近挙動はのみを考え…

メビウス関数

この記事では整数論では頻出の数論的関数であるMöbius関数について、その基本事項をまとめます。 定義 定義 関数のことを数論的関数という。「関数」のように表すことが多い。定義 Möbius関数をによって定義する。補題1 のとき、が成り立つ。証明. Möbius関…

ベルトランの仮説

この記事では、次の記事での美しい性質を紹介するための準備として、Bertrandの仮説と呼ばれる素数に関する非常に美しい定理を証明します。Bertrandの仮説 (1845) 任意の自然数に対して、を満たすような素数 が少なくとも一つ存在する。要は、てんでんばらば…

メルテンスの第一定理

定理 の証明を以前取り上げました: integers.hatenablog.com 今回は、この定理の精密版であるMertensの第一定理の証明を紹介します。 Mertensの第一定理 Mertensの第一定理 例によって例のごとく、Landauの記号はのみ扱います。Mertensの第二定理、第三定理…

チェビシェフの定理

この記事では素数定理の弱い版であるChebyshevの定理を証明します。素数定理やその他の定理の証明に必要となるので先に準備しておこうという記事です。最初に、この記事を読むための前提知識となる記事をあげておきます: integers.hatenablog.com integers.h…

アーベルの総和法

後の記事で基本的な役割を果たすことになるAbelの総和法を紹介しておきます。Abelの総和法 を実数列、を上定義された級関数、 とする。このとき、が成り立つ。証明. のとき、なのでまた、に注意して、以上を合わせることにより所望の等式が得られる。 Q.E.D.…

tsujimotter氏の記事の補足: 正則素数とFLTのファーストケース

新年早々にtsujimotter氏がFLT(Fermat's little theoremの方ではなく、Fermat's last theorem)に関する大変素晴らしい記事を書かれました: tsujimotter.hatenablog.com tsujimotter氏の記事では証明における最大のキーポイントが解説されています。そこで、…

フェルマーのクリスマス定理

クリスマス・イヴ特別記事を書きます。38年ぶりにクリスマスの夜に満月となるそうです。楽しみですね。私は今日も、明日も数学をします。まさにXmath!今日、紹介するのは「Fermatのクリスマス定理」です。「Fermatの小定理」でも「Fermatの最終定理」でもな…

2015の階乗を10の502乗で割った数の一の位は?

この記事は「日曜数学Advent Calendar」の19番目の記事として寄稿しています: www.adventar.org前回はToshiki Takahashi氏による「情報理論の物理学的基礎」でした。 情報理論のための物理基礎 | Advent Calendar 2015 | DIY Mathematics |私自身は10番目の…

ζ*({2}^m) \in Qπ^{2m}の初等的証明

本記事ではMatsuoka[1]によるバーゼル問題の証明法を自然に拡張して、等号付多重ゼータ値に関する古典的結果の初等的別証明を与える*1。 Riemannゼータ関数の正の偶数における値 多重ゼータ値、等号付多重ゼータ値、多重調和和 定積分計算による証明 参考文…