は「左から桁だけ読んだ数が番目の素数で割り切れるような最大の偶数」です。

は個の素因数を持つような最小の絶対擬素数です。 素因数を全て足すとになります。integers.hatenablog.comで紹介したKorseltの判定法によって絶対擬素数になっていることを確認しておきましょう：は確かにで割り切れます。

素数の二乗はとからの並び替えになっていますが、実は真ん中だけがであるような数のことをサイクロプス数と呼びます。二乗するとサイクロプス数になるような最小の素数がです。素数はそれ自身がサイクロプス数ですが、と四乗までサイクロプス数となっていま…

は長さの素数等差数列ですが、くっつけて出来るも素数です。ついでにに関する蘊蓄を三つほど紹介します。① のそれぞれで挟んだ数が全て素数となるような最小の素数です。② の7乗はですが、各桁を足すととなります。③ に関する次のような予想があります。予想…

「いちごサンキュー」と語呂合わせできる数 は合成数ですが、をで挟んだとをで挟んだは素数です。さて、の真ん中に円周率に現れる数字列(←素数)を挿入した整数を考えましょう。実はの素因数分解の二つの素因数はからの並べ替えになっています。

双子素数はちょっぴり面白い性質を持っています。なんと、とがともにに対してから始まる(十進法表記における桁の左端)のです！ ウヒョ〜〜〜〜〜〜

「セブンイレブン」のことを何回説明しても僕のおばあちゃんは「イレブンセブン」と言いますが、を7回、を11回書いた は素数です。似たような素数として、を11回、を5回書いた も素数です。

は素数ですが、連続する素数の和として四通りに表すことのできる最小の数です。

以下の素数達は、番目の素数 を十進法で書いたときに、番号がの数字列の端を幾つか切って出来る数となっているような素数です。特に、がの両端の数字を落としたものになっている素数はしか見つかっていません。

過去記事integers.hatenablog.comで紹介したように、から続く八つの素数は全てエマープでしたが、の一つ前の素数もエマープですし、その前のもエマープでした。つまり、からの十連続素数は全てエマープなのです。ちなみに、でです。過去記事でが抜けていたの…

予想 任意に正整数をとる。からの整数を一つずつ円状に並べるとき、隣り合うどの二数の和も素数となるような並べ方が必ず存在する。例えば、のときにからをという並びで円状に並べたとき、と全て素数になっています。ところで、は素数ですね。

は素数ですが、ちょっとした面白いことがあって、9乗するとと、十進法表記でで始まりで終わる数となります。 素数という条件を除けばがあり、 9乗すると始まりに同じ数が並ぶという条件だけであれば、自明なを除いて などがあります。これを眺めていると、「…

は464番目の素数です。すなわち、番目の素数をで表すことにすれば であり、この後には と続きます。ところで、素数と似たものとして、ラッキー数がありました。integers.hatenablog.com番目のラッキー数をで表すことにすると、実はとなっています！このよう…

29番目のLucas数 はという性質を持っています(各桁の総和がインデックスに等しい)。はこのような性質を持つ最小のLucas数です(正のインデックスについて)。各桁の総和が素数になるという性質を持つの次のLucas数はで、となっています。のもう一つの面白い性…

は素数 を用いて と書ける唯一の素数です。ところで、証明はとても簡単です。因数分解公式によれば でなければならないからです。同じことを一般的に考えることにすると、素数に対して が素数になるのはいつか？という問題となります。

はポケモン素数であり、の次の素数はでした。integers.hatenablog.com実は、連続する素数をくっつけて出来る数がエマープになるような最小のものは です。ちなみに、もう一つのポケモン素数の次の素数も6つ先のでしたが、はエマープではないものの素数です。…

当ブログでも既に何通りもの証明を解説しているように、素数の逆数の和は発散しますが素数 までの素数の逆数和がそれぞれを始めて超えることが知られています。例えば、E. Bach, D. Klyve, J. P. Sorensonによって及びが得られています。16843：ウォルステン…

五つの数は全て素数です。ちなみにです。 なのでの倍数になっています。(や)はのようにとを結合させて出来る素数ですが、このシリーズは小さい順にとなっています。ついでにとを結合させて出来る素数シリーズはとなっていますが、両方のシリーズによって双子…

を以下の素数の個数、を番目の素数とします。このとき、, であり、なので、が成り立ちます。

は各桁の数が全て三乗数(すなわち、)であるような最小のエマープです。エマープという条件を緩めて単に素数でよければ、までにがあります。ちなみに、から続く４つの素数は素数の鎖をなします。定義 を番目の素数とする。連続する個の素数 が素数の鎖をなす…

は以上の整数とします。関-Bernoulli数に関するEuler-Ramanujanの恒等式をEulerの公式を使ってRiemannゼータ関数の偶数値の関係式であるWilliamsの公式に書き換えることができました(リーマンゼータ関数 - INTEGERS)。同様にして、三木の恒等式をEulerの公式…

関-Bernoulli数に関するJohnsonの手法を解説しました：integers.hatenablog.com上記記事ではJohnsonの基本進関係式Johnsonの基本進関係式 を正整数とし、修正関-Bernoulli数をと定義する。このとき、次の進関係式が成立する。から関-Bernoulli数に関する種々…

素数定理は素数分布に関する歴史的定理ですが、これからより定性的な次の結果が従います：系 (素数密度零補題) 次の極限公式が成り立つ：integers.hatenablog.comに書いたように、この結果は素数の関わる問題を解く際などによく使われますが、素数定理という…

はと四つの素数の和として表すことができますが、これら四つの素数のうち三つをどのように選んで足し合わせてもと平方数になっています。このように相異なる四つの素数の和として表せて、その四つの素数のうち三つをどのように選んで足し合わせても平方数に…

関-Bernoulli数に関する整数性やを法とした合同式などを統一的に導出するJohnsonの手法を紹介します。関-Bernoulli数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。は素数です。Johnsonの主張は、関-Bernoulli数に関するいくつかの古典的定理達は以…

は素数。Legendreの公式 mathtrain.jpintegers.hatenablog.com正整数の進展開をと書くことにすると*1、Legendreの公式はと書き換えることができます。理由: 次のように計算できる:この形まで変形してしまえば、次の京大の入試問題はいよいよ瞬殺です。京大文…

Dirichletの算術級数定理についての補足記事です。Dirichletの算術級数定理 を互いに素な正整数とする。このとき、 の形で表される素数は無数に存在する。integers.hatenablog.com例えば、最近integers.hatenablog.comで算術級数定理を応用しましたが、そこ…

三木の恒等式 を以上の整数とする。このとき、次の恒等式が成立する：.ただし、であり、は第調和数である。integers.hatenablog.com 第二種Stirling数の母関数表示 Gesselの証明では第二種Stirling数を用います。第二種Stirling数についてはBell数の母関数表…

何度でも言いたくなる魔法の言葉「ぶぶんぶんすうぶんかい」補題１ を体とし、とする。互いに素な多項式 によって と分解されているならば、が存在して、においてが成り立つ。証明. が互いに素であることから、が存在してが成り立つので、とおけばよい。 Q.E…

関–Bernoulli数に関するexotic identity、三木の恒等式を紹介します。 鑑賞 関–Bernoulli数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。この記事で紹介したように、関–Bernoulli数は漸化式を満たします。もう少し、非自明なものとしてはEulerやRa…