インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

YAIBAサンキュー

YAIBAという漫画が面白かった記憶はあるのですが、内容は覚えていません。ところで、は素数ですが、Fibonacci数 が素数であることが Broadhurst-Waterによって2001年に証明されています*1。 *1:英語版Wikipediaではが確定素数の仲間入りをしているのですが要…

算数の問題

問 を以上の整数とする。以下の合成数から相異なる個の数をどのように選んでも互いに素でない二数を含むような最大の整数を求めよ。難しくはありません。挑戦する人のためにコメント欄には答えを書かないようお願いします。

バーゼル問題の短くはないが好きな証明

バーゼル問題の証明法はたくさん知られています。当ブログではEulerの方法と高校数学のみを用いる証明を紹介しただけでした。integers.hatenablog.com最も短い証明の一つはfibonacci-freak.hatenablog.comで紹介されています。も もともに周期なので、intege…

n次元球の体積

半径 の次元球の体積を とします。定理 ここで、はガンマ関数です。integers.hatenablog.com補題1 は に比例する。証明. に関する帰納法で証明する。のときは なので成立する。のときに主張が正しいと仮定する。であり、帰納法の仮定より なので、と のとき…

216:素数と三角数の和

と言えばというuniqueな性質を持つ数ですが、が関わる面白い予想があるので紹介します。 人は整数を何らかの和の形に表したくなる生き物である。 我々人類は任意の正整数を四つの平方数の和として表してみたり、integers.hatenablog.com三つの三角数の和とし…

ガウスの三角数定理

次の定理はFermatが証明抜きで成立を言明し*1、Gaussが1796年に証明したものです。三角数定理 任意の正整数は三つ以下の三角数の和として表すことができる。三角数に を含めれば、任意の正整数は丁度三つの三角数の和として表すことができます。Gaussは日記…

ガウス・ルジャンドルの三平方の定理

199

私の整数好きを決定付けた本があります。水上 勉 (著), 黒川 信重 (監修)『チャレンジ! 整数の問題 199』単行本 – 2005/4, 日本評論社私は高校生のときにこの本を夢中になって読みました。思えば、高校生の私をワクワクさせてくれたこの本の続きを書いている…

ヤコビ記号

Jacobi記号について簡潔にまとめます。Legendre記号、平方剰余の相互法則についてはintegers.hatenablog.comをご覧ください。定義 を正の奇数とし、をと互いに素な整数とする。このとき、Jacobi記号 を次のように定義する: まず、とし、とが素因数分解され…

ミンコフスキーの凸体定理

所謂"数の幾何学"における基本的定理である、Minkowskiの凸体定理を紹介します。を正整数とし、この記事ではの格子としてのみを扱います。また、体積について厳密にはRiemann積分論などを用いて証明する必要がある事実を断りなしに使います。Minkowskiの凸体…

素数大富豪 ブログ記事

複数記事を書いているブログ インテジャーズ integers.hatenablog.com特に読んで欲しいもの integers.hatenablog.com二世氏のブログ nisei.hatenablog.com その他の方による記事 peria氏のブログ qiita.comPanda Noir氏のブログ panda-noir.hatenablog.jp相…

素数大富豪 ニコニコ動画

「素数大富豪まとめ」のニコニコ動画

素数大富豪 YouTube

ウディコン投稿作品『素数大富豪!』のチュートリアル動画(シグラルさん) www.youtube.comwww.youtube.com キグロさん実況動画 www.youtube.comwww.youtube.com パッチーさん実況動画 www.youtube.comwww.youtube.com[www.youtube.com

素数大富豪 実戦・大会・講演情報

素数大富豪関連講演情報 2016年2月21日(日) 15:00 - 18:00 二世 「素数大富豪徹底攻略! 〜ビギナー編〜」@第1回 日曜数学会 in 札幌2016年6月18(土) 15:30 - 19:30 せきゅーん「素数大富豪」@第6回日曜数学会2016年11月3日(木祝)13:30 - 16:30 せきゅー…

素数大富豪公式ルール

公式ルールのダウンロード 公式ルールは以下でダウンロードできます。(最終更新日: 2017/3/28 公開日: 2017/2/10) https://dl.dropboxusercontent.com/s/n5pj0540muso2fn/prime_daifugo_rule.pdf?dl=0 初心者向け なお、上記公式ルールは分かりやすくは書か…

ブログを始めて出会ったもの

私はブログを始めて新しく出会ったものがあります。"Deep magenta"です。ブログ記事を書いているときに、文字に色を付けて強調したり分かりやすくしようと試みることがあります。はてなブログには簡単な編集ツールが付いていますが、 数回の操作で簡単に色を…

ベイカーの定理の証明

この記事では超越数論の古典的大定理であるBakerの定理の証明をBakerの本*1に書いてある通りに紹介します*2。Bakerの定理 (1966) をでない代数的数とする。このとき、が上一次独立であれば、は上一次独立である。ここで、個あるについて任意の枝で成立し、そ…

超越数論の古典的定理

超越数論の古典的な結果のうち、比較的大きな定理を鑑賞しましょう。ここでは証明は紹介しません。 Lindemann-Weierstrassの定理 Lindemann-Weierstrassの定理 (1885) を正整数とし、を上一次独立な代数的数とする。このとき、は上代数的独立である。これは…

リュービル数

超越数の存在は1844年にLiouvilleによって初めて証明されました。この記事ではLiouville数について簡潔にまとめます。定義 複素数がLiouville数であるとは、任意の正整数に対して在る整数であって、なるものが存在して、が成り立つときにいう。Liouville数の…

すむーずぷりんちゃんさんの問題について

問題 (すむーずぷりんちゃん) を以上の整数とし、とおく。このとき、の多項式として次の整除関係が成り立つことを示せ:偶数,奇数.【証明求む】Σ k^m の計算をしていたら、画像のような法則性を見つけました。数学の腕に自信がある方、証明して(または反例を…

40144044691:極端に弱い素数

は素数です。 みんな大好き691で終わり、がたくさん出てくるので覚えやすいですが、面白い特徴があります。 まず、は弱い素数です。つまり、どの桁であっても一つ数を変更すると素数でなくなります。 実は、このはただの弱い素数ではありません。 例えば、最…

カーマイケルのλ関数と絶対擬素数

Fermatテスト Fermatテストと呼ばれるお手軽な素数判定法があります。まず、Fermatの小定理を思い出しましょう。Fermatの小定理 を素数とする。このとき、と互いに素な整数に対してが成り立つ。この定理を使えば、と互いに素な整数に対して、がを法としてと…

全ハーシャッド数

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といえば最小の完全数であるという事実が真っ先に思い浮かびますが、最大の全ハーシャッド数であるという性質も持っています。ハーシャッド数とは「各桁の数の総和が自分自身を割り切るような正整数」として定義され、integers.hatenablog.comにおいて「ハー…

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は素数ですが、は全て素数です。

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はからを一つずつ使った素数ですが、少しだけ面白い特徴があります。各桁における を に置き換えて得られる整数も素数なのです。

ヴィーフェリッヒ数

は知られている最大のWieferich数です。Fermatの小定理より奇素数に対してが成り立ちますが、が成り立つようなのことをWieferich素数というのでした:integers.hatenablog.com integers.hatenablog.comところで、Fermatの小定理を一般化したEulerの定理を用…

やたらすごい素数

これは何の変哲もない只の1089桁の素数に見えたかもしれない。 本当にそうだろうか? なので、この素数を33桁毎に改行して33×33の正方形の形に書いてみよう。 この見事な正方形を眺めていると、33桁の数が33個並んでいるように思えてくる。 もう、お気づきだ…

ライトの素数表現関数

Millsの素数表現関数の論文が1947年に出て、それはInghamによる深い結果を用いるものでした:integers.hatenablog.comこれを受けて、Inghamの結果を使う代わりに、よりお手軽なBertrandの仮説を使うだけでも同じようなことができるよとWrightが1951年に報告…

「n以下の素数の個数」以下の素数の和がnに等しくなるような最大の自然数は100である

本日の数遊び 以下の素数は個あります: やは素数ではありませんのでご注意を。このとき、という数に着目して、以下の素数を足し合わせると となっています。 実は、はこのような性質を持つ最大の自然数なのです。本日は次の定理を証明することにいたしまし…

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さて、であるが*1、は素数である。 *1:127:メルセンヌ数 - インテジャーズ

たまには素数の話でも

から続く8つの素数は全てエマープです。つまり、次の8つは素数です。 は1万以下の素数の個数です。はとがくっついていますが、です(12番目の素数が)。 一方、はとがくっついていますが、です(21番目の素数が)。がエマープではないわけですが*1、連続する素…

算術級数の素数定理

昨年、Dirichletの算術級数定理の証明を紹介しました。Dirichletの算術級数定理 を互いに素な正整数とする。 このとき、 の形で表される素数は無数に存在する。integers.hatenablog.com特殊な形に限定した場合の素数の無限性は未解決問題が多いのですが、算…

虚二次体の類数表(その二)

integers.hatenablog.com の続きです(Watkinsの結果)。 類数 (190個) 類数 (93個) 類数 (457個) 類数 (83個) 類数 (255個) 類数 (73個) 類数 (708個) 類数 (101個) 類数 (219個) 類数 (103個) 類数 (668個) 類数 (85個) 類数 (237個) 類数 (115個) 類数 (912…

合成数を小さい順に足して出来るような冪乗数

オンライン整数列大辞典A227249とA053768とA053769を紹介します。数列(A227249)は「最初の個の合成数の総和が冪乗数となる正整数のうち番目のもの」と定義されます。 のようになっています。 数列(A053768)は「最初の個の合成数の総和が平方数となる正整数の…

オイラーの定理:1000009は素数ではない

オイラーの論文L. Euler, Utrum hic numerus sit primus necne inquiritur, Nova acta academiae scientiarum Petropolitanae 10 (1797), 63–73.で証明されている次の定理の証明を解説します:定理 (オイラー) は素数ではない。オイラーによる証明*1. 一見し…

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は素数ですが、の分割をこれ以上、1つの数式では読み込まないようなので仕切り直し。と書き下したときに現れる+の個数がですね。

相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するランダウの定理

以前、Ramanujanの不等式integers.hatenablog.comを紹介した際に証明を割愛したLandauの定理定理 (Landau) 、は正の整数とし、を相異なる個の素数の積として表せる以下の数の個数とすると、が成り立つ。の証明を紹介します。 記号 幾つかの補助的関数を導入…

素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら、合成数番目の合成数でない自然数は無数に存在するであろう。

#85は素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら合成数番目の合成数でない最小の自然数 #みらいけん数学デー pic.twitter.com/WtPKtNVdwX— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月11日 だぶん【駄文】くだらない文章。は番目の合成数であり、であるが…

ディクソンの恒等式

Dixonの恒等式 (1891/1903) 非負整数に対し、が成り立つ。とおくと、mathtrain.jpで紹介されているとなります。正整数に対して、多項式 をで定義します。は を根に持つ次の多項式です。証明*1. を非負整数とする。多項式をと定義する。このとき、は個の整数 …

Weyl Differencing

Weyl DifferencingによってWeylの一様分布定理を二次式の場合に拡張しましょう。記号: 実数に対して、に一番近い整数との距離をと表し*1、とします()。補題1 を任意の実数とし、を正の整数とする。このとき、が成り立つ。証明. 三角不等式よりが成り立つ。…

フランスで出会った猫

先月フランスに滞在した際に出会った猫さんがとても素敵な方でした。 さて、integers.hatenablog.comにおいてDiophantusの5つ組予想(=-5つ組の非存在)の解決宣言がなされたことを紹介しましたが*1、本日-5つ組の非存在の解決宣言がなされました。[1704.01…

等式の証明

タワー分数から生まれ出でた予想がこちら #みらいけん数学デー pic.twitter.com/fXclt4qXDt— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月4日この等式を証明しましょう。integers.hatenablog.comで紹介したJacobiの三重積公式Jacobiの三重積 に対し、次の恒等式が成…

数と数字の違い

数字(numeral)は数(number)を表す文字です。 「数」と「数字」は異なる概念です。 当ブログで数字に関する記事を書いたことも何度かありますし*1、数字が嫌いだということはありません。むしろ人類全体で考えるとだいぶ好きな方だと思います。 ただ、私は基…

ソフィー・ジェルマン素数

Sophie Germainの仕事を紹介しました:integers.hatenablog.com integers.hatenablog.comこの仕事に関連してが素数になるような素数のことをSophie Germain素数と呼ぶようになったわけですが、integers.hatenablog.comでも紹介したように、Sophie Germain素…

ソフィー・ジェルマンの定理

Fermatの最終定理に関するSophie Germainの定理とその証明を解説します。前回の記事でSophie Germainによるグランドプランが失敗に終わったことを紹介しました:integers.hatenablog.comしかし、彼女は転んでもただでは起きません。奇素数を固定します。グラ…

フェルマーの最終定理解決への"グランドプラン"

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Sophie Germainは1776年4月1日にパリで生まれた女性数学者です。彼女のよく知られた仕事はFermatの最終定理(FLT)への貢献です。彼女がFLTへ挑戦した時点ではの場合しか証明されていませんでした。なお、FLT()を証明したのはEulerでFLT()を証明したのはFermat…

【ネタバレあり】 ラ・ラ・ランド

観ました。私には映画レビューを書けるような才能がないので、参考になるレビューを貼っておきます:www.okushou.comミュージカルは音楽が良くなければ全てが台無しになると思うのですが、個人的にラ・ラ・ランドの音楽はとても気に入りました。あと、ヒロイ…

ファン・デル・ヴェルデン数

ファン・デル・ヴェルデンの定理integers.hatenablog.comにおけるの取り得る最小の値をファン・デル・ヴェルデン数といい、と表します。はすぐに分かります。それ以外に確定しているのはのみです(このうちは素数)。一般的な上界についてはGowers(フィールズ…

ファン・デル・ヴェルデンの定理

次の有名定理の証明を解説します:Van der Waerdenの定理 (1927) 任意の正の整数に対して、或る正の整数が存在して次が成り立つ: なる任意の整数に対して、からまでの整数をどのように色に塗り分けたとしても、必ず同じ色で塗られた長さの等差数列が存在する…

突然57個の素数を要求されたときの対処法

街中で突然怖い人に「今すぐ57個素数を教えないと殺す。一桁や二桁の小さいものは駄目だ。」と言われたとしましょう。要求される個数が24個であればを覚えていれば十分でした*1。しかし、今回の怖い人はグロタンディーク素数*2が好きなのか、要求してくる素…

フィボナッチ数とp進数

を番目のFibonacci数とします:integers.hatenablog.comに対して、二つのFibonacci数の商からなる集合をと定義します。黄金比をとするとき、Binetの公式よりの元はにおいての整数乗の近くにしか分布しません。一方、次が成り立ちます:定理*1 任意の素数に対…