インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

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さて、であるが*1、は素数である。 *1:127:メルセンヌ数 - インテジャーズ

たまには素数の話でも

から続く8つの素数は全てエマープです。つまり、次の8つは素数です。 は1万以下の素数の個数です。はとがくっついていますが、です(12番目の素数が)。 一方、はとがくっついていますが、です(21番目の素数が)。がエマープではないわけですが*1、連続する素…

算術級数の素数定理

昨年、Dirichletの算術級数定理の証明を紹介しました。Dirichletの算術級数定理 を互いに素な正整数とする。 このとき、 の形で表される素数は無数に存在する。integers.hatenablog.com特殊な形に限定した場合の素数の無限性は未解決問題が多いのですが、算…

虚二次体の類数表(その二)

integers.hatenablog.com の続きです(Watkinsの結果)。 類数 (190個) 類数 (93個) 類数 (457個) 類数 (83個) 類数 (255個) 類数 (73個) 類数 (708個) 類数 (101個) 類数 (219個) 類数 (103個) 類数 (668個) 類数 (85個) 類数 (237個) 類数 (115個) 類数 (912…

合成数を小さい順に足して出来るような冪乗数

オンライン整数列大辞典A227249とA053768とA053769を紹介します。数列(A227249)は「最初の個の合成数の総和が冪乗数となる正整数のうち番目のもの」と定義されます。 のようになっています。 数列(A053768)は「最初の個の合成数の総和が平方数となる正整数の…

オイラーの定理:1000009は素数ではない

オイラーの論文L. Euler, Utrum hic numerus sit primus necne inquiritur, Nova acta academiae scientiarum Petropolitanae 10 (1797), 63–73.で証明されている次の定理の証明を解説します:定理 (オイラー) は素数ではない。オイラーによる証明*1. 一見し…

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は素数ですが、の分割をこれ以上、1つの数式では読み込まないようなので仕切り直し。と書き下したときに現れる+の個数がですね。

相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するランダウの定理

以前、Ramanujanの不等式integers.hatenablog.comを紹介した際に証明を割愛したLandauの定理定理 (Landau) 、は正の整数とし、を相異なる個の素数の積として表せる以下の数の個数とすると、が成り立つ。の証明を紹介します。 記号 幾つかの補助的関数を導入…

素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら、合成数番目の合成数でない自然数は無数に存在するであろう。

#85は素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら合成数番目の合成数でない最小の自然数 #みらいけん数学デー pic.twitter.com/WtPKtNVdwX— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月11日 だぶん【駄文】くだらない文章。は番目の合成数であり、であるが…

ディクソンの恒等式

Dixonの恒等式 (1891/1903) 非負整数に対し、が成り立つ。とおくと、mathtrain.jpで紹介されているとなります。正整数に対して、多項式 をで定義します。は を根に持つ次の多項式です。証明*1. を非負整数とする。多項式をと定義する。このとき、は個の整数 …

Weyl Differencing

Weyl DifferencingによってWeylの一様分布定理を二次式の場合に拡張しましょう。記号: 実数に対して、に一番近い整数との距離をと表し*1、とします()。補題1 を任意の実数とし、を正の整数とする。このとき、が成り立つ。証明. 三角不等式よりが成り立つ。…

フランスで出会った猫

先月フランスに滞在した際に出会った猫さんがとても素敵な方でした。 さて、integers.hatenablog.comにおいてDiophantusの5つ組予想(=-5つ組の非存在)の解決宣言がなされたことを紹介しましたが*1、本日-5つ組の非存在の解決宣言がなされました。[1704.01…

等式の証明

タワー分数から生まれ出でた予想がこちら #みらいけん数学デー pic.twitter.com/fXclt4qXDt— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月4日この等式を証明しましょう。integers.hatenablog.comで紹介したJacobiの三重積公式Jacobiの三重積 に対し、次の恒等式が成…

数と数字の違い

数字(numeral)は数(number)を表す文字です。 数と数字は異なる概念です。 当ブログで数字に関する記事を書いたことも何度かありますし*1、数字が嫌いだということはありません。むしろ人類全体で考えるとだいぶ好きな方だと思います。 ただ、私は基本的には…

ソフィー・ジェルマン素数

Sophie Germainの仕事を紹介しました:integers.hatenablog.com integers.hatenablog.comこの仕事に関連してが素数になるような素数のことをSophie Germain素数と呼ぶようになったわけですが、integers.hatenablog.comでも紹介したように、Sophie Germain素…

ソフィー・ジェルマンの定理

Fermatの最終定理に関するSophie Germainの定理とその証明を解説します。前回の記事でSophie Germainによるグランドプランが失敗に終わったことを紹介しました:integers.hatenablog.comしかし、彼女は転んでもただでは起きません。奇素数を固定します。グラ…

フェルマーの最終定理解決への"グランドプラン"

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Sophie Germainは1776年4月1日にパリで生まれた女性数学者です。彼女のよく知られた仕事はFermatの最終定理(FLT)への貢献です。彼女がFLTへ挑戦した時点ではの場合しか証明されていませんでした。なお、FLT()を証明したのはEulerでFLT()を証明したのはFermat…

【ネタバレあり】 ラ・ラ・ランド

観ました。私には映画レビューを書けるような才能がないので、参考になるレビューを貼っておきます:www.okushou.comミュージカルは音楽が良くなければ全てが台無しになると思うのですが、個人的にラ・ラ・ランドの音楽はとても気に入りました。あと、ヒロイ…

ファン・デル・ヴェルデン数

ファン・デル・ヴェルデンの定理integers.hatenablog.comにおけるの取り得る最小の値をファン・デル・ヴェルデン数といい、と表します。はすぐに分かります。それ以外に確定しているのはのみです(このうちは素数)。一般的な上界についてはGowers(フィールズ…

ファン・デル・ヴェルデンの定理

次の有名定理の証明を解説します:Van der Waerdenの定理 (1927) 任意の正の整数に対して、或る正の整数が存在して次が成り立つ: なる任意の整数に対して、からまでの整数をどのように色に塗り分けたとしても、必ず同じ色で塗られた長さの等差数列が存在する…

突然57個の素数を要求されたときの対処法

街中で突然怖い人に「今すぐ57個素数を教えないと殺す。一桁や二桁の小さいものは駄目だ。」と言われたとしましょう。要求される個数が24個であればを覚えていれば十分でした*1。しかし、今回の怖い人はグロタンディーク素数*2が好きなのか、要求してくる素…

フィボナッチ数とp進数

を番目のFibonacci数とします:integers.hatenablog.comに対して、二つのFibonacci数の商からなる集合をと定義します。黄金比をとするとき、Binetの公式よりの元はにおいての整数乗の近くにしか分布しません。一方、次が成り立ちます:定理*1 任意の素数に対…

パワフル数に関するMcDanielの定理の証明

パワフル数に関する記事integers.hatenablog.comで紹介したMcDanielの定理定理 (McDaniel 1982) でない任意の整数に対して、その数を二つの互いに素なパワフル数で表す表し方が無数に存在する。の証明を紹介します。を平方数でないような整数とし、正整数に…

もしも60が奇数だったら | 今週のお題「私のタラレバ」

「は偶数である」という数学の定理を証明してみたいと思います。 は次交代群の位数である。 は次交代群の位数です。は非可換単純群なので、可解群ではありません。 Feit–Thompsonの定理 Feit–Thompsonの定理 任意の奇数位数の有限群は可解群である。これは大…

オススメのニコニコ動画

おはようございます。涙腺の緩さは自称日本トップレベルのせきゅーんです。本日は私の好きなニコニコ動画のシリーズを二つ紹介します。 Alt + F4 さんの「世界の奇書をゆっくり解説」シリーズ www.nicovideo.jp世界の奇書を解説していく動画ですが、私にとっ…

似ている曲達

似ている曲達を紹介します。 七色シンフォニー vs. DANDAN心魅かれてく コアラモード. の"七色シンフォニー"www.youtube.comの0:41~0:59とドラゴンボールGTのオープニングテーマ"DANDAN心魅かれてく"www.youtube.com0:27~0:47は似ています*1。 夏のFree&Ea…

ラマヌジャンによる円周率近似の作図②

はを並び替えてできる素数の一つですが、がに近いという事実は覚える価値があります:Ramanujanは と書けることに着目して次のような作図を提唱しています: は円の直径。 は弧の中点。 はをに内分する点。 。 。 はに平行。 はに平行。 で。 このとき、Raman…

Shanksの恒等式の拡張と円周率近似の作図

以前紹介したShanksの恒等式integers.hatenablog.comはWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています:のとき、のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えばよりが得られますし、よりが得られます。 、と言えばピンと…

基準完全数

を約数総和関数とするとき、が成り立つような正整数のことを完全数というのでした: integers.hatenablog.comをの正の約数とするとき、が基準約数であるとは、とが互いに素であることと定義します。例) なので、やはの基準約数ではないが、やはの基準約数で…

孙智伟さんによる新作定理

を以下の素数の個数、を番目の素数とします。なのでが成り立ちます。また、よりが成り立ちます。こういったものは数遊びですが、次のようにまとめると数学の定理らしくなります:定理1 を以上の整数とする。このとき、或る正の整数が存在してが成り立つ。こ…

エマーパイムス

今日は1月15日番目のエマーパイムスはです。もエマーパイムスです。イチゴを食べたくなってきました。今、スターバックスでチョコラティ バナナ ココ フラペチーノを飲んでいますが。 エマーパイムス エマーパイムスとは何か。それは、"emirpimes"をさっき私…

Golombの定理

素数個数関数に関するGolombの定理を紹介します。証明に使うのは –①のみです。これは素数定理から出ますが、素数定理を用いることなく初等的に導出できる点には注意しておきます。Golomb曰く、Eulerが既に示していたとのことです。Euler先生は何でもやってま…

高木関数

今、目の前に高木貞治博士の論文集があります。高木貞治博士が28歳ぐらいのときに出版された論文T. Takagi, A simple example of a continuous function without derivative, Proc. Phys. Math. Japan, (1903) Vol. 1, pp. 176-177.は一ページ半に満たないも…

ウェダーバーンの定理

環と言ったら可換環のことを指すというようなことはなくて、普通は非可換環も含めて環なので、可換環しか扱わないような場合は最初に明言する必要があります。を持つかなども基本的には書かなければなりません。一方、体と言ったら普通は可換体を表します。…

Zsigmondyの定理

高校数学の美しい物語さんの記事mathtrain.jpを初めて見たとき、一つだけ知らない定理がありました。それがZsigmondyの定理です:Zsigmondyの定理 を互いに素な自然数とし、を以上の整数とする。このとき、およびかつがの冪であるという例外ケースを除いて、…

2017, e, π, Khinchin定数

は素数ですが、昨夜面白い性質があることに気づきました。 の場合 にをかけます。 この数に一番近い整数は素数です。このような性質をもつ以下の素数(に一番近い整数が素数となるような素数)は です 。このような幸運な年は私が生まれてからだと年が初めてで…

代数学の基本定理のCauchyの積分定理を用いた証明

代数学の基本定理の証明はたくさん知られています。個人的にはGalois理論を使った証明が好きです。インテジャーズでも位相空間論の言葉による証明を紹介しました:integers.hatenablog.com今日はBoasが1964年に発表した証明を紹介したいと思います。代数学の…

アニメーション映画「算法少女」

私が小説『算法少女』(遠藤寛子著ちくま学芸文庫*1)を始めて読んだのは大学生のときだったと思います。実在する和算書『算法少女』(1775)を題材にした千葉あき主人公の物語*2。それ以来『算法少女』のファンなのですが、アニメーション映画化されるとは知…

素数定理

素数定理を伝道してきた話を書きます。 時間がないので、もうしばらくお待ちください。

[素数大富豪] ラマヌジャン革命と合成数出しにおける指数表記出し

これは素数大富豪Advent Calendar 2016 www.adventar.orgの22日目の記事です。昨日はみうら君の記事でした: togetter.comいいですねえ。私も好きです。私の好きなの性質としては「唯一のジェノッキ素数である」があります: integers.hatenablog.com 公式ル…

「√2+√3+√5+√7は無理数である」など

この記事は日曜数学アドベントカレンダーの17番目の記事です。http://www.adventar.org/calendars/1777www.adventar.org昨日の記事はToshiki Takahashiさんのリープグラフと複素確率 | Advent Calendar 2016 | DIY Mathematics |でした。 今日は、キグロさん…

日記

時間的余裕がない*1。なお、という素因数分解はと導出できるというのが好きです。 *1:日曜数学アドベントカレンダーへ寄稿予定の内容があるのですが今どうしても書けません。申し訳ございません。書け次第ご報告致します。

素数大富豪との出会い

12月7日、といえば非常に美しいMersenne素数ですが*1、素数大富豪でQ7と二枚出し出来る頻出素数です!この記事は素数大富豪アドベントカレンダー2016の7日目の記事です。 www.adventar.org昨日はmattyuu123さんによる記事でした: mattyuu.hatenadiary.com…

938万桁の新素数発見により10223がSierpinski数でないことが確定

以下のサイトに発見されている巨大素数のトップ10が掲載されています:primes.utm.edu第1位のは今年の1月に発見が宣言されたもので記事にしました:integers.hatenablog.com実は先日新しい巨大素数が発見されたらしいのです!第7位を見てください!それは…

関-ベルヌーイ数の第二種Stirling数を用いた公式

関-Bernoulli数は第二種Stirling数を用いて表すことができます。関-Bernoulli数については integers.hatenablog.comを、第二種Stirling数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。関-Bernoulli数は一つ目の記事で紹介したように -①を満たすよ…

37でたくさん割れる関-ベルヌーイ数

最小の非正則素数について短い記事を書こうと思います。関-ベルヌーイ数についてはintegers.hatenablog.comを参照して下さい。番目の関-Bernoulli数を既約分数表示した際の分子をで表し、若干の数値例()を上記記事に掲載しました。の素因数分解において、赤…

好きな(曲, 部分)を伝道する

皆さんこんばんは。「好きな英単語と言えばclassic(意:最高級の)とprime(意:最も重要な)」でおなじみのせきゅーんです。これは伝道師になろうアドベントカレンダーの三日目の記事です。www.adventar.org昨日の記事は綾塚さんによるY.AYA's Garden - SF読書…

6058655748

療養中であったせきゅーんの見舞いに行く途中、先生が乗ったタクシーのナンバーが6058655748であった。先生が「その数はどうでもいい退屈な数字であった。凶兆でなければよいが」というと、せきゅーんは即座に「そんなことはありません…

インテジャーズ一周年!!

今朝、起きたらこんなメールがgmail宛に届きました。 そう、昨日がブログ『インテジャーズ』の執筆を開始してちょうど一年だったのです。 去年の10月末か11月初めに突発的にブログを書こうと思い立ち、はてなブログをとりあえず開設し、ブログの技術の習得や…

リーマンゼータ値に関する問題

昨日の記事integers.hatenablog.comを眺めていると、次のような数字の3つ並びが目に入ります: 次の式は簡単に証明できます:.さて、に対し、となっています。参考までに、のときとのときを調べると、に対しであり、に対し、です。それでは、次の問題に答え…