インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

素数を二つ紹介

みんな素数。 を番目の素数とするとです。みんな素数。題名に反して十の素数を紹介してしまいました☆

Schinzelの仮説H

次のような予想があります。Schinzelの仮説H 次数が以上の個の整数係数多項式 に対して、が全て素数となるような正整数が無数に存在するための必要十分条件は次の三条件を満たすことである: (I) の先頭項は正である. (II) はにおいて既約. (III) 各素数毎に…

最近購入したトランプとノート

表題の通り最近購入したトランプとノートを紹介します。ついでにどうでもよい情報ですが、私が愛用している筆記具はサラサクリップ黒0.5(ボールペン)です*1。www.zebra.co.jp BICYCLEのトランプ 素数大富豪プレイヤーとして格好良いトランプを一組持っておき…

奇数の完全数に関するHeath-Brownの手法

奇数の完全数が存在するかしないかというのは未解決問題です。integers.hatenablog.comしかしながら部分的な研究成果は多数あって、例えば1913年にDicksonが「与えられた個数の素因数を持つような奇数の完全数は有限個しか存在しない」ということを証明しま…

HAPPY BIRTHDAY

三つの平方数の平均値 Brocard-Ramanujan方程式の解は三つと強く予想されており、その三つの平方数はでした。integers.hatenablog.com実はこの三つの平方数の平均がRamanujanのタクシー数になることは記憶に値します。 ピアノの話 実家のアップライトピアノ…

鳩ノ巣原理

鳩ノ巣原理(pigeonhole principle)、鳩の巣原理、Dirichletの(箱入れ)原理(box principle)、Dirichletの抽斗論法、部屋割り論法などと呼ばれる次の原理*1は有名です。鳩ノ巣原理 を正整数とする。羽以上の鳩を個の鳩ノ巣に入れるとき、少なくとも一つの鳩ノ…

105に関するエルデシュの予想や剱岳など

という整数について、これまでに二つ記事を書いたことがあります。integers.hatenablog.comintegers.hatenablog.com今日は更に二つほど紹介しようと思います。 Ramanujanの公式 Ramanujanの発見した次の公式にが登場します。証明. は素数をわたるものとして…

リスーピアに行ったよ☆

リスーピアに初めて遊びに行ってきました。リスーピア - 施設案内 - パナソニックセンター東京 - コーポレートショウルーム - 企業情報 - Panasonic数字列を入力するとそれが円周率の小数点以下何桁目に現れるかを表示してくれるものがあったので、試しに好…

仮面ライダーの話数の数式とインテジャーズ

仮面ライダービルドのオープニングの話数が全て数式で表されているそうで、物理学アドバイザーである白石直人博士がこちらも担当しているそうです。黒板に専門的な数式も現れるらしく、そちらも含めてご本人のホームページに解説等があります。仮面ライダー…

線分の交点と七角形定理

私が大学生のときに個別指導の塾で指導していた生徒が次のような問題を考えてきました。問題設定 多角形の二頂点を結んで出来る全ての線分を考え、その線分の交点を取る。その後、多角形の頂点および得られた交点の中から二点を結んで出来る全ての線分を考え…

メルセンヌお助け数

Mersenne数の記事integers.hatenablog.comで紹介したようにMersenneは間違いをおかしていて、例えば、は素数でないにも関わらず素数だと予想していました。 ところで、は二進法で表示するとがそれぞれ個、個並ぶ数ですが、他の進法で考えるとが個または個並…

少なくとも一つは必ず無理数なんだ。

Apéryは伝説を残した。integers.hatenablog.comその後、2000年を過ぎたあたりにRivoalという天才が彗星の如く現れ、 の中には無理数が無数に存在するということを証明した(Ballと共著でInvent. Mathに掲載されている)。Rivoalは の中に少なくとも一つ無理数…

明示的ABC予想

ABC予想について述べた記事integers.hatenablog.comにおいて「強い予想」として次を述べていました:予想 任意のABCトリプルに対して不等式が成り立つ。この予想は A. Granville, T. J. Tucker, "It’s as easy as abc", Notices of the AMS, 49 (2002), 1224…

スターリングの公式

この記事ではStirlingの公式を次の形で証明します(Robbinsによる)。Stirlingの公式 を正整数とするとき、がを満たす形で成り立つ。証明. とし、と分ける。ここで、である。すると、となる。対数関数のマクローリン展開によってなので、とおくと であり、であ…

凸多角形を分割したときの小凸多角形の辺数の平均について

凸n角形(3 <= n <= 7])を二つ以上の凸多角形に分割するとき、各小多角形の辺の数の平均は6より小さいことを示せ。

Carlitzの恒等式

は関-Bernoulli数*1とする。このとき、次の恒等式が成り立つ: 証明*2. 次のように母関数を計算する:これはとの入れ替えで不変である。 Q.E.D. *1:この記事では. *2:by Prodinger.

eが二次の有理数係数方程式を満たさないことの証明

が無理数であることはintegers.hatenablog.comで証明しており、が超越数であることもintegers.hatenablog.comで証明していますが、この記事では古くから知られている*1「が二次の有理数係数方程式を満たさないことの初等的証明」を紹介します。これは、の無…

ハイパーグラフ除去補題ー4

定義 記事3の正則化補題の記号・仮定・帰結を考え、とする。各に対して、のアトムをとる。このとき、(これは空集合かのアトム)がgoodであるとは、任意のおよびに対して次の二つの評価が成り立つときにいう: −① −②が負となるような状況は扱わない。, のアト…

素数魔方陣ー2

Rudolf Ondrejkaの素数魔方陣 という素数は、の素数魔方陣*1のうち定和が最小となるようなものの中心の数です。 この素数魔方陣はRudolf Ondrejkaによって発見されたものです。 大きいサイズの素数魔方陣の存在性 ちなみに、魔方陣があった場合、それを構成…

鞄とその和集合の比較ー1

Cauchy-Davenportの定理 を素数とし、を巡回群の空でない部分集合とする。をと定義する。このとき、次が成り立つ:Cauchy-Davenportの定理 これより、であればの任意の元はの元との元の和として表すことができることがわかる。証明. とする。主張 が成り立つ…

ハイパーグラフ除去補題ー3

前正則化補題 , とし、関数は任意のに対してを満たすとする(に依存してもよい)。各に対して加法族はを満たすとする。このとき、および各 毎に加法族の組であってを満たすものが存在して、次が成り立つ: −① −② −③ −④前正則化補題 Szemerédiの正則化補題 弱正…

どの三点も同一直線上にはなく、どの四点も同一円周上にはない整数距離多角形

有名問題 どの三点も同一直線上にはなく、どの四点も同一円周上にはない平面上の点であって、どの二点間の距離も整数であるようなものは存在するか?そのような点が存在する場合、二点間距離の最大値として取り得る最小値をと定義します。現在、が知られてお…

5, 7, 17, 19

相異なる4つの素数であって、どの3つを取っても和が素数となるようなもののうち、4つの素数の総和が最小となるようなものがです*1。 四つ子素数だとが最小のものです。 六つ子素数で同様の性質を満たす最小のものはでとなっています。www.alpertron.com.a…

ハイパーグラフ除去補題ー2

この記事からハイパーグラフ除去補題を証明していく。ハイパーグラフ系を固定する。単に期待値を書いたら上の期待値とする。Terence Taoによる証明の方針はintegers.hatenablog.comと非常に似ている。そこでも扱ったように、上の加法族と に対して条件付き期…

5942636062289

という素数のちょっとした性質を紹介します。次の素数はですが、その間の整数の素因数分解の重複を込めた素因数の個数は全て奇数になっています。

ハイパーグラフ除去補題ー1

この記事から複数記事用いて「ハイパーグラフ除去補題」の証明を行います。参考文献 T. Tao, A variant of the hypergraph removal lemma, J. Combin. Theory Ser. A 113 (2006), 1257–1280. T. Tao, The Gaussian primes contain arbitrarily shaped conste…

29179の各桁の総和は29179の二乗の各桁の総和に等しい

の各桁の数の総和はですが、の各桁の数の総和もとなっています。このような正整数は(の冪のような自明な例を除いても)無数に存在します。定理 (Hare-Laishram-Stoll) とする。進法において、の各桁の総和との各桁の総和が一致するようなの倍数ではない正整数…

大学入試数学〜素数〜

京大2018前期理系問2 京大2018前期文系問3 名大2018前期理系問3 岐阜大2018前期問1 横浜市大2018前期I(1), III(1) 大阪市大2018前期文系問1 東北大2018後期文系問4 早稲田2018[基幹理工、創造理工、先進理工学部]III 京大2017前期文系問2 金沢大2017前期文系…

2^77232917-1:最大の素数更新、発見された完全数の数が50に!

2018年1月3日付で人類が発見した最大の素数の記録が更新されたことが発表されました。GIMPSによって2017年12月26日に発見されたその素数(桁)はでMersenne素数です。これで知られているMersenne素数の個数は個となり、偶数の完全数もで個を数えることとなりま…

マイク・キースの小数

を小数展開すると*1、を挟みながら個の素数が並びます。 赤は素数で青は合成数です。ネタばらしをするとということです。 *1: