2017-10-12

素数の織り成す構造〜ガウスからグリーン・タオへ〜 MATH POWER 2017

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

講演スライドを公開します。スライド番号や間違い等は再構成・修正してあります。
スライドはKeynoteで作成し、数式はLaTeXiTを利用して作成しました。

1枚目

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2枚目

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3枚目

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4枚目

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5枚目

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6枚目*1

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7枚目

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8枚目*2

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9枚目

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10枚目

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11枚目*3

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12枚目*4

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13枚目*5

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14枚目*6

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15枚目*7

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16枚目*8

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17枚目*9

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18枚目*10

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19枚目

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20枚目

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21枚目*11

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22枚目

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23枚目*12

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24枚目

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25枚目

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26枚目

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27枚目*13

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28枚目

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29枚目

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31枚目*14

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34枚目*16

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39枚目*18

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41枚目*19

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42枚目*20

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43枚目*21

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44枚目*22

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46枚目*23

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148枚目*76

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149枚目

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*1:このスライドは本番では飛ばしてしまいました。「最高の講演にしたい！」という意気込みでしたが、発表練習は結局一度も出来なかったのでミスが出てしまいました。好きな素数 $17$ を選んでいたのですが。cf. ジェノッキ素数が17しか存在しないことの証明 - INTEGERS

*2:素因数分解の一例ですが、好きな素数 $17, 691, 1213$ を使っています。指数があった方がいいかなと思って $17$ に二乗もつけてみました。cf. 関-ベルヌーイ数 - INTEGERS, 1213：素数大富豪における二枚出し最強素数 - INTEGERS

*3:いくらでも大きい素数が存在するということで、大きい素数を一つ紹介してみましたが。

*4:実は、当ブログでバズった特別な素数です：やたらすごい素数 - INTEGERS

*5:肖像画が特徴的で、初めて見た時に笑いのツボに入ってしまいました。

*6:素数は無数にあるけれど、実は全然ない。素数密度零補題 - INTEGERS

*7:16843：ウォルステンホルム素数、調和数、調和級数、オイラーの定数 - INTEGERS, 調和級数の発散証明 - INTEGERS

*8:Eulerの命日9/18はLegendreの誕生日と一致しています。この次のスライドは掲載を省略しますが、素数の逆数和の発散の原論文を紹介しました(Theorema 19)。原論文のPDFはこちら→E72 -- Variae observationes circa series infinitas

*9:素数は意外にある。

*10:ここでもスライドを飛ばすミスをしてしまいましたが、これは喋った方がいいだろうと思い、戻って解説しました。1801241230056600523以下の素数の逆数和は4を超える - INTEGERS

*11:私の講演のキャッチフレーズが「ガウス素数定理予想から $15^2$ 周年」でした。素数定理 - INTEGERS

*12:長さ $7$ から長さ $10$ にとんでるのはこれらが各長さの素数等差数列の最大項が最小である例だからで、長さ $8, 9$ の最小例も $199, 409, \dots$ から始まるもので長さ $10$ の例に含まれています。

*13:Taoが生まれた1975年に色を付けているのは、Szemerédiの定理の論文の出版年という記念すべき年に生まれたからですが、講演では言及し忘れました。テレンス・タオ - Wikipedia, ベン・グリーン - Wikipedia

*14:掲載は省略しますが、Euclidの原論の該当ページの写真のスライドがこの一つ前にありました。

*15:eが無理数であることの5通りの証明 - INTEGERS

*16:解説記事：eの無限積表示と素数の無限性 - INTEGERS

*17:ここから37枚目までの解説記事：2015の階乗を10の502乗で割った数の一の位は？ - INTEGERS

*18:tsujimotterさんによる解説記事：群論におけるフェルマーの小定理 - tsujimotterのノートブック

*19:Lawrence C. Washington - Wikipedia

*20:当ブログではまだ書いてないですが、とりあえず代数的整数論の演習問題レベルです。

*21:PIDでない数体の整数環については42枚目の演習問題を根拠に素イデアルの無限性が従い、そこから有理素数の無限性も導出できるという視点です。つまり、素数が無数に存在しないと類数が $2$ 以上の数体は存在し得なかったという解釈ができます。

*22:ヒレル・ファステンバーグ - Wikipedia

*23:解説記事：有限位相空間の個数 - INTEGERS

*24:「付値」は自明でない付値の同値類

*25:この次のスライドは掲載を省略しますが、原論文を紹介しました(Theorema 8)。原論文のPDFはこちら→E72 -- Variae observationes circa series infinitas

*26:ここから紹介する三つの証明の解説記事：リーマンゼータ関数 - INTEGERS 質問を受けましたが、別証明として紹介しているものは全て循環論法ではありません。循環論法になるケースについてはeが超越数であることの証明 - INTEGERS

*27:バーゼル問題の高校数学範囲内で分かる証明 - INTEGERS

*28:左側については先ほどのリーマンゼータ関数の記事。右側はπ：Never Ending Number～ラマヌジャンのMysteriousな公式～ - INTEGERS

*29:先ほどのリーマンゼータ関数の記事

*30:証明の解説記事：メビウス関数 - INTEGERS

*31:ゼータ関数の零点とリーマン予想 - INTEGERS

*32:素数定理の証明 - INTEGERS

*33:ラムゼーの定理と６人の問題 | 高校数学の美しい物語

*34:このスライドから始まる証明の解説記事：ファン・デル・ヴェルデンの定理 - INTEGERS

*35:積分記号を使っていることに気づいた人はいるかな？？

*36:ハブを貫いて新しいスポークを作る！

*37:ポール・エルデシュ - Wikipedia, Pál Turán - Wikipedia

*38:エルデシュ・トゥーランの定理 - INTEGERS

*39:Klaus Roth - Wikipedia

*40:ロスによるエルデシュ・トゥーラン予想の解決 - INTEGERS

*41:Endre Szemerédi - Wikipedia

*42:掲載は省略しますが、この次のスライドで原論文に描かれている論理図を紹介しました。原論文：http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27132.pdf

*43:ウィリアム・ティモシー・ガワーズ - Wikipedia

*44:Gowersの証明が2010年になっていました。申し訳ございません。

*45:このスライドから始まる証明はタオのセメレディ論文の§1, 2を読む - INTEGERSから解説が始まります。

*46:実際の証明では技術的理由により $N$ は素数としています。

*47:矢印は言い換えの順番を表していて、証明が簡単な論理の方向は逆矢印となります。

*48:ランダム部分排除定理、構造化部分に対するSzemerédiの定理はTaoはそれぞれ一般化von Neumannの定理、構造化回帰定理と呼んでいます。タオのセメレディ論文の§3を読む - INTEGERS

*49:定義はタオのセメレディ論文の§4を読む - INTEGERS

*50:定義はタオのセメレディ論文の§5を読む (その一) - INTEGERS

*51:正確にはタオのセメレディ論文の§5を読む (その二) - INTEGERSの命題２。「生み出される」は気取りすぎでした。

*52:正確な主張は§3の記事に書いてあります。実際には $f_{\mathrm{str}}$ 一つでは上手くいかず、 $f_{U^{\perp}}$ と $f_{UAP}$ が必要。

*53:このスライドの正確な内容はタオのセメレディ論文の§6を読む (その二) - INTEGERS, タオのセメレディ論文の§6を読む (その三) - INTEGERS

*54:実際には $\sigma$ -加法族そのものに定義される量は複雑度。エネルギーの定義とエネルギー増加法についてはタオのセメレディ論文の§7を読む - INTEGERS。実際のエネルギー増加法は $\sigma$ -加法族のペアに関する複雑な形で定式化する必要があります。

*55:正確な証明はタオのセメレディ論文の§8を読む - INTEGERS

*56:正確な定義は§5(その一)の記事。

*57:正確な主張は§3の記事の「一様概周期関数の回帰性」

*58:ここでの分割は次の記事の⭐︎式：タオのセメレディ論文の§10を読む(その一) - INTEGERS

*59: $\sigma$ -加法族は実際にはペアで考えることに注意して、その構成は§10(その一)の最後の方で行われています。エネルギーが満タンであるということはタオのセメレディ論文の§10を読む(その二) - INTEGERSで場合分けの形で記述されています。

*60:§9の内容をこのスライド一枚に閉じ込めて細かい点の解説はしませんでした。タオのセメレディ論文の§9を読む(その一) - INTEGERS, タオのセメレディ論文の§9を読む(その二) - INTEGERS

*61:これと次のスライドは§10(その二)の最後の方の計算。

*62:重たいSzemerédiの定理の証明の解説が終わり、Green-Taoの高みに入る前に休憩の話を挿入しました。

*63:素数の無限性の一風変わった証明 - フィボナッチ・フリーク

*64:Andrew Granville - Wikipedia

*65:立方数からなる非自明な長さ3の等差数列は存在しない。 - INTEGERS

*66:このスライドから始まる証明の概略はグリーン・タオ論文の§1, 4を読む - INTEGERSから解説が始まります。

*67:擬ランダム測度の定義と次のスライドの定理についてはグリーン・タオ論文の§3を読む - INTEGERS

*68:証明の詳細はSzemerédiの定理と同様として省略しました。このスライドについてはグリーン・タオ論文の§8を読む（その一） - INTEGERSに詳しく、§8(その二)までに擬ランダム測度に対するSzemerédiの定理が証明されます。

*69: $W$ -トリックに関する解説はグリーン・タオ論文の§2を読む - INTEGERS

*70:Green-Tao測度の構成についてはグリーン・タオ論文の§9を読む（その一） - INTEGERS

*71:擬ランダム測度であることを示すには線形形式条件に対応する式(Goldston-Yıldırım型定理A)と相関条件に対応する式(Goldston-Yıldırım型定理B)を証明する必要がありますが、ここでは前者のみ記述しています。

*72:積分表示を得る計算はグリーン・タオ論文の§10を読む（その一） - INTEGERSで実行されます。補題３やその後の無限積の分割が $W$ -トリックが効いてくる箇所です。

*73:ゼータ関数に関する解析は最後の記事で実行されます：グリーン・タオ論文を読み終える - INTEGERS

*74:謎の数学者バウデットが死の直前に遺した真珠 - INTEGERS

*75:素数の織り成す構造に関する第三の勝利にたどり着いたのかもしれない。

*76: $\varepsilon > 0$ に依存する正の数 $C_{\varepsilon}$ が存在して $A \leq C_{\varepsilon}B$ が成り立つことを $A\ll_{\varepsilon} B$ で表している。ABC予想についてはABC予想 - INTEGERS

2017-10-06

グリーン・タオ論文を読み終える

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

9/6から始めた短期集中連載『等間隔に並ぶ素数を追い求めて』もこの記事で最後となります。

integers.hatenablog.com

まず、Baudetの予想 = van der Waerdenの定理を証明し、

integers.hatenablog.com

Taoによる、vdWの定理を用いたSzemerédiの定理の緻密な証明を紹介しました。

integers.hatenablog.com

そして、GreenとTaoによる、Szemerédiの定理を用いた「擬ランダム測度に対するSzemerédiの定理」の証明を紹介し、

integers.hatenablog.com

Green-Taoの定理を証明するには素数の集合を統制する擬ランダム測度 = Green-Tao測度を構成すればよいことを確認しました。

integers.hatenablog.com

Green-Tao測度の構成は解析的整数論におけるGoldston-Yıldırımの定理に帰着され、それらは

integers.hatenablog.com

と

integers.hatenablog.com

において次の補題に帰着されました。

(再掲) 最終補題 (Lemma 10.4) $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上の $2m$ 変数解析関数 $G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ が

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} = \exp\left(O_{m, \sigma}(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を満たしていると仮定する。このとき、或る $\delta=\delta(m) > 0$ が存在して、漸近公式

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO_{m, \sigma}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m, \sigma}(e^{-\delta\sqrt{\log R}})\end{align}$

が成り立つ。

つまり、この記事でこの最終補題を証明すればGreen-Taoの定理の証明が完全に完了します。

そして、

これは純粋にRiemannゼータ関数に関する公式と言えます。

最後の最後に。

結局、素数に関する有益な情報を提供してくれるのは、Riemannゼータ関数なのです！

Riemannゼータ関数を用いた素数定理の証明では、実数 $t \neq 0$ に対して

$\zeta(1+t\sqrt{-1}) \neq 0$ −①

が成り立つ*1というRiemannゼータ関数の零点に関する情報から素数定理を導出したことを思い出します。

実はde La Vallée Poussinは古典的非零領域と呼ばれる①より精密な命題を証明することによって、素数定理の精密化

$\displaystyle \pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O(x\exp (-{}^{\exists}c\sqrt{\log x}) ), \quad x \to \infty$

を証明しています。最終補題も素数定理の精密化を導くこの古典的非零領域から導出されます。使う形でまとめると次のようになります：

古典的非零領域 (Lemma A.1) 領域 $\mathcal{Z}$ を $0 < \beta < 1$ に対して

$\displaystyle \mathcal{Z}:=\left\{ s \in \mathbb{C} \left| 10 \geq \mathrm{Re}(s) \geq 1-\frac{\beta}{\log(\left|\mathrm{Im}(s)\right|+2)}\right\}\right.$

と定義する。このとき、 $\beta$ が十分小さければRiemannゼータ関数は $\mathcal{Z}$ に零点をもたない。また、任意の $s \in \mathcal{Z}$ に対して評価

$\displaystyle \zeta(s)-\frac{1}{s-1} = O(\log(\left|\mathrm{Im}(s)\right|+2) ),\quad \frac{1}{\zeta(s)} = O(\log(\left|\mathrm{Im}(s)\right|+2) )$

が成り立つ。

当ブログではこの命題の証明を解説していませんが、これはGreen-Taoの理論とは完全に独立なRiemannゼータ関数に関する複素関数論における古典的定理です。この命題と後で使うRiemannゼータ関数の凸性評価についてはここでは前提知識として割愛しますが、松本耕二先生の『リーマンのゼータ関数』(朝倉書店)やTitchmarshの"The Theory of the Riemann Zeta-function" (Oxford University Press)などの定評のある教科書で標準的に学ぶことができます。

§Appendix A. Proof of Lemma 10.4を読む

記号 $R \geq 2, m \geq 1, \sigma > 0$ は固定するが、 $\delta > 0$ は小さい定数に対する記号として乱用する。古典的非零領域で存在する $\beta$ を $\mathcal{Z}$ が領域 $\{s \in \mathbb{C} \mid 1-\sigma < \mathrm{Re}(s) < 101\}$ に完全に含まれるだけ小さくとる。前節までは $N \to \infty$ で考えてきたが、この節では $N$ を出さずに、Landauの記号は $R \to \infty$ での漸近挙動を表すことにする。また、 $\beta, \sigma$ に関するパラメータ依存の表記は省略するものと規約する。

新たにコンタワー $\Gamma_0, \Gamma_2$ を

$\displaystyle \Gamma_0(t) := -\frac{\beta}{\log(\left|t\right|+2)} + t\sqrt{-1},\quad \Gamma_2(t) := 1+t\sqrt{-1},\quad -\infty < t < \infty$

として定義する。 $\Gamma_0$ は $\mathcal{Z}-1$ の左側の境界となっている。 $\Gamma_2$ を取ることの利点は $\zeta(1+z+z')$ が $z \in \mathcal{Z}-1, \ z' \in \Gamma_2$ のときに極を持たないことにある。

補題１ (Lemma A.2) $A > 1$ を実数とし、 $B$ を非負整数とする。このとき、或る $\delta=\delta(A, B, \delta) > 0$ が存在して、上からの評価

$\begin{align} &\int_{\Gamma_0}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^A}\right| \leq O_{A, B}(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &\int_{\Gamma_1}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^2}\right| \leq O_B(\log R)\end{align}$

が成り立つ。

証明. まず、一つ目の評価を示す。 $\Gamma_0$ 上の積分なので

$\displaystyle z=-\frac{\beta}{\log(\left|t\right|+2)}+t\sqrt{-1}$

を考える。 $t > 0$ での積分を考えれば十分。

$\displaystyle \left|z\right| = \sqrt{\frac{\beta^2}{\log^2(t+2)}+t^2}$

より $z=O(t)$ かつ $t+2=O(\left|z\right|)$ であり、

$\displaystyle \left|\frac{dz}{dt}\right| = \sqrt{\frac{\beta^2}{(t+2)^2\log^4(t+2)}+1} = O(1)$

なので、

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^A}\right| \leq O_B\left(\int_0^{\infty}R^{-\frac{\beta}{\log(t+2)}}\frac{\log^B(t+2)}{(t+2)^A}dt\right)$

を得る。 $T \geq 2$ を取って積分範囲を分割すると、更に

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^A}\right| \leq O_{B}\left(\log^BT\int_0^TR^{-\frac{\beta}{\log(t+2)}}dt+\int_T^{\infty}\frac{\log^Bt}{t^A}dt\right)$

と評価できる*2。ここで、一つ目の積分は

$\displaystyle \int_0^TR^{-\frac{\beta}{\log(t+2)}}dt \leq R^{-\frac{\beta}{\log(T+2)}}\int_0^Tdt = O(TR^{-\frac{\beta}{\log T}})$

と評価できる。部分積分を用いて帰納法を適用することにより、 $A, B$ のみに依存する正の定数 $a_0, \dots, a_B$ が存在して

$\displaystyle \int\frac{\log^Bt}{t^A}dt = -\frac{1}{t^{A-1}}\sum_{i=0}^Ba_i\log^{B-i}t$

なる不定積分の公式が成り立つことがわかる。よって、二つ目の積分は

$\displaystyle \int_T^{\infty}\frac{\log^Bt}{t^A}dt = O_{A, B}(T^{1-A}\log^BT)$

と評価できる。つまり、

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^A}\right| \leq O_{A, B}\left(T\log^BT\exp\left(\frac{-\beta\log R}{\log T}\right)+T^{1-A}\log^BT\right).$

$T=\exp\left(\sqrt{\frac{\beta\log R}{2}}\right)$ と取れば

$\begin{align} T\log^BT\exp\left(\frac{-\beta\log R}{\log T}\right) &= \exp\left(\sqrt{\frac{\beta\log R}{2}}\right)\left(\frac{\beta\log R}{2}\right)^{\frac{B}{2}}\exp(-\sqrt{2\beta \log R}) \\ &=\exp\left(-\sqrt{2\beta\log R}+\sqrt{\frac{\beta\log R}{2}}+\frac{B}{2}\log\frac{\beta\log R}{2}\right) \\ &= O_B\left(\exp(-\delta\sqrt{\log R})\right)\end{align}$

および

$\displaystyle T^{1-A}\log^BT=\exp\left( (1-A)\sqrt{\frac{\beta\log R}{2}}\right)\times \left(\frac{\beta\log R}{2}\right)^{\frac{B}{2}}=O_{A, B}\left(\exp(-\delta\sqrt{\log R})\right)$

なので、

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^A}\right| \leq O_{A, B}(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$

が示された。次に、二つ目の評価を示す。 $\Gamma_1$ 上の積分なので

$\displaystyle z=\frac{1}{\log R}+t\sqrt{-1}$

を考える。

$\displaystyle \left|z\right| = \sqrt{\frac{1}{\log^2R}+t^2}$

および

$\displaystyle \left|R^z\right| = R^{\mathrm{Re}(z)}=R^{\frac{1}{\log R}} = e$

であり、

$\displaystyle \int_{\Gamma_1}\log^B(\left|z\right|+2)\left|\frac{R^zdz}{z^2}\right| \leq O\left(\int_0^{\infty}\frac{\log^B(\left|z\right|+2)}{\log^{-2}R+t^2}dt\right)$

と評価できる。積分区間を分割すると、

$\displaystyle \int_0^{\log^{-1}R}\frac{\log^B(\left|z\right|+2)}{\log^{-2}R+t^2}dt \leq \log^B\left(\frac{\sqrt{2}}{\log R}+2\right)\times \log^2R \times \frac{1}{\log R}=O_B(\log R)$

および

$\displaystyle \int_{\log^{-1}R}^{\infty}\frac{\log^B(\left|z\right|+2)}{\log^{-2}R+t^2}dt \leq O_B\left(\int_{\log^{-1}R}^{\infty}\frac{\log^B(t+2)}{(t+2)^2}dt\right) = O_B(\log R)$

なので(最後の積分は前半にも現れた)、二つ目の評価の証明も完了する。 Q.E.D.

補題２ (Lemma A.3) $f(z, z')$ は領域 $\mathcal{D}_{\sigma}^1$ 上で一様に

$\displaystyle \left|f(z, z')\right| \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

と評価されるような解析関数とする。このとき、積分値

$\displaystyle I:=\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^2}\int_{\Gamma_1}\int_{\Gamma_1}f(z, z')\frac{\zeta(1+z+z')}{\zeta(1+z)\zeta(1+z')}\frac{R^{z+z'}}{z^2z'^2}dzdz'$

は或る $\delta=\delta(\sigma, \beta) > 0$ に対して評価

$\displaystyle I = f(0, 0)\log R+\frac{\partial f}{\partial z'}(0, 0)+\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_0}f(z, -z)\frac{dz}{\zeta(1+z)\zeta(1-z)z^4}+O_m(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$

が成り立つ。

証明. $f$ は $\mathcal{Z}-1$ 上で解析的であり、古典的非零領域による漸近公式によって、この証明中での積分順序の交換は全て正当化される。また、§10 (その一)の補題１の証明におけるのと同様のコンタワー積分を複数回実行するが、その際 $\mathrm{Im}(z), \mathrm{Im}(z') \to \infty$ の項は全て消える。よって、極の位置を正確に捉えて留数を拾っていく。

まずは $z'$ についての積分路を $\Gamma_1$ から $\Gamma_2$ に移す。この際、極は存在しないので値は変わらない。こうすると、次に $z$ について積分路を $\Gamma_1$ から $\Gamma_0$ に変更すれば、古典的非零領域と合わせて、極は $z=0$ のみであることがわかる*3。 $\frac{1}{\zeta(1+z)z^2}=z^{-1}+\cdots$ なので、留数は

$\displaystyle \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_2}f(0, z')\frac{R^{z'}}{z'^2}dz'$

である。よって、

$\begin{align} I_1 &:= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_2}f(0, z')\frac{R^{z'}}{z'^2}dz' \\ I_2 &:= \frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^2}\int_{\Gamma_2}\int_{\Gamma_0}f(z, z')\frac{\zeta(1+z+z')R^{z+z'}}{\zeta(1+z)\zeta(1+z')z^2z'^2}dzdz'\end{align}$

とすれば、留数定理による帰結は $I=I_1+I_2$ となる。 $I_1, I_2$ をそれぞれ評価する。

$I_1$ について。 $z'$ について積分路を $\Gamma_2$ から $\Gamma_0$ に変更する。このとき、極は $z'=0$ のみで、それは $2$ 位である。

$\displaystyle \frac{d}{dz'}\left(f(0, z')R^{z'}\right) = f(0, z')R^{z'}\log R+\frac{d f(0, z')}{dz'}R^{z'}$

なので、留数は

$\displaystyle f(0, 0)\log R+\frac{\partial f}{\partial z'}(0, 0).$

従って、

$\begin{align} I_1 &= f(0, 0)\log R+\frac{\partial f}{\partial z'}(0, 0)+\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_0}f(0, z')\frac{R^{z'}}{z'^2}dz' \\ &= f(0, 0)\log R+\frac{\partial f}{\partial z'}(0, 0)+O_m(e^{-\delta \sqrt{\log R}})\end{align}$

を得る。ここで、最後の評価は仮定されている $f$ の評価と補題１の一つ目の評価の $B=0$ の場合から従う。

後は $I_2$ の漸近評価を与えればよい。積分順序を交換して、 $z'$ についての積分路を $\Gamma_2$ から $\Gamma_0$ に変更する。このときは、極は二つあって、 $z'=-z$ と $z'=0$ である(ともに $1$ 位。もちろん古典的非零領域を使ってわかる)。 $z'=-z$ の留数は

$\displaystyle \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_0}f(z, -z)\frac{dz}{\zeta(1+z)\zeta(1-z)z^4}$

であり、 $z'=0$ の留数は仮定している $f$ の評価と補題１の一つ目の評価の $B=0$ の場合から

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}f(z, 0)\frac{R^z}{z^2}dz = O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$

である。よって、留数定理から、

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\int_{\Gamma_0}f(z, z')\frac{\zeta(1+z+z')R^{z+z'}}{\zeta(1+z)\zeta(1+z')z^2z'^2}dzdz'$

の評価に全てが帰着された。 $R$ が大きければ $\Gamma_0 \subset \mathcal{D}_{\sigma}^1$ なので、 $f(z, z')$ は

$\displaystyle \left|f(z, z')\right| = \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

と評価する。また、古典的非零領域を使って、

$\displaystyle \frac{1}{\left|\zeta(1+z)\right|} = O\left(\log (\left|\mathrm{Im}(z)\right|+2)\right),\quad \frac{1}{\left|\zeta(1+z')\right|} = O\left(\log (\left|\mathrm{Im}(z')\right|+2)\right)$

と評価する。ここで、次の評価が成り立つことに注意する： $z, z' \in \Gamma_0$ に対して

$\displaystyle \left|\zeta(1+z+z')\right| = O(1+\left|z\right|+\left|z'\right|)^{\frac{1}{4}} =O(1)(1+\left|z\right|)^{\frac{1}{4}}(1+\left|z'\right|)^{\frac{1}{4}}$

が成り立つ。理由: Riemannゼータ関数の凸性評価によって、 $1/2 \leq \sigma \leq 1$ かつ $\left|t\right| \geq 1/100$ であれば

$\displaystyle \left|\zeta(\sigma+t\sqrt{-1})\right| \ll_{\varepsilon} \left|t\right|^{1-\sigma+\varepsilon}$

が成り立つ。よって、 $\beta$ が十分小さければ、 $\left|\mathrm{Im}(z+z')\right| \geq 1/100$ のときは

$\displaystyle \left|\zeta(1+z+z')\right| =O(\left|\mathrm{Im}(z+z')\right|^{\frac{1}{4}})$

となって主張も成立することがわかる*4。 $\left|\mathrm{Im}(z)\right|, \left|\mathrm{Im}(z')\right| \leq t$ であれば、 $z, z' \in \Gamma_0$ であることから

$\displaystyle \frac{1}{\left|z+z'\right|} =O(\log(t+2) )$

が成り立つので、古典的非零領域において $\beta$ を小さくできることから、 $\left|\mathrm{Im}(z+z')\right| \leq 1/100$ のときは

$\displaystyle \zeta(1+z+z')=\frac{1}{z+z'}+O(\log( \left|\mathrm{Im}(z+z')\right|+2) ) = O\left(\log (\max\{\left|\mathrm{Im}(z)\right|, \left|\mathrm{Im}(z')\right|\}+2)\right)$

となり、やはり主張が成立することがわかる。

補題１の一つ目の評価で $A=7/4, B=1$ とすることによって

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\log (\left|\mathrm{Im}(z)\right|+2)(1+\left|z\right|)^{\frac{1}{4}}\left|\frac{R^zdz}{z^2}\right| = O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$

なので*5、評価すべきであった二重積分も同じ漸近挙動を示すことがわかった。 Q.E.D.

最終補題の証明

以下、Landauの記号の $m, \beta, \sigma$ 依存は省略する*6。 $G=G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ を $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上の $2m$ 変数解析関数であって、

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}=\exp\left(O(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を満たすようなものとする。積分 $I(G, m)$ を

$\displaystyle I(G, m) := \frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1}\cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}G(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i'$

と定めるとき、示すべきことは

$\displaystyle I(G, m) = G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m-i}R)+O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$

である。これを $m$ に関する帰納法で証明する。 $m=1$ のときは補題２より

$\displaystyle I(G, 1) = G(0, 0)\log R+\frac{\partial G}{\partial z_1'}(0, 0)+\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_0}G(z_1, -z_1)\frac{dz}{\zeta(1+z_1)\zeta(1-z_1)z^4}+O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$

が成り立つ。

$\displaystyle \left|\frac{\partial{G}}{\partial z_1'}(0, 0)\right| \leq \left\|G\right\|_{C^1(\mathcal{D}_{\sigma}^1)}$

であり、

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\left|\frac{dz_1}{\zeta(1+z_1)\zeta(1-z_1)z_1^4}\right| = O(1)$ –①

が言えれば

$\displaystyle \left|\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\Gamma_0}G(z_1, -z_1)\frac{dz}{\zeta(1+z_1)\zeta(1-z_1)z^4}\right| \leq O\left(\sup_{z \in \mathcal{D}_{\sigma}^1}\left|G(z, -z)\right|\right) \leq O(\left\|G\right\|_{C^1(\mathcal{D}_{\sigma}^1)})$

と評価できて、 $m=1$ のときの主張が成り立つことがわかる。①については、 $z_1 \in \Gamma_0$ であれば $1+z_1 \in \mathcal{Z}$ なので、古典的非零領域より、

$\displaystyle z_1=-\frac{\beta}{\log(\left|t\right|+2)}+t\sqrt{-1}$

と表示するとき

$\displaystyle \frac{1}{\zeta(1+z_1)}=O(\log (\left|t\right|+2) )$

と評価できる。 $\mathrm{Re}(s) > 1$ に対して

$\displaystyle \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s},\quad \zeta(\mathrm{Re}(s)) < 1+\frac{1}{\mathrm{Re}(s)-1}$

が成り立つので、

$\displaystyle \left|\frac{1}{\zeta(1-z_1)}\right| \leq 1+\frac{\log(\left|t\right|+2)}{\beta}$

と評価でき、

$\displaystyle \int_{\Gamma_0}\left|\frac{dz_1}{\zeta(1+z_1)\zeta(1-z_1)z_1^4}\right| = O\Biggl(\int_0^{\infty}\frac{\log(t+2) \left(1+\frac{\log(t+2)}{\beta}\right)}{t+2}dt\Biggr) = O(1)$

と①が証明できた。

次に、 $m$ の場合に証明できたと仮定して $m+1$ の場合を証明する。 $z_1, \dots, z_m, z_1, \dots, z_m' \in \Gamma_1$ を固定して、変数 $z_{m+1}, z_{m+1}'$ に対して補題２を適用し(仮定は満たされている)、その後 $2m$ 重積分をとれば

$\begin{align} &I(G, m+1) \\ &= \frac{\log R}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}G(z_1, \dots, z_m, 0, z_1', \dots, z_m', 0)\prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &\quad +\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}H(z_1, \dots, z_m, z_1', \dots, z_m') \prod_{i=1}^m\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &\quad +O(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &= I(G(z_1, \dots, z_m, 0, z_1', \dots, z_m', 0), m)\log R+I(H, m)+O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})\end{align}$

が成り立つことがわかる。ここで、 $H$ は

$\begin{align} &H(z_1, \dots, z_m, z_1', \dots, z_m') \\ &:= \frac{\partial G}{\partial z_{m+1}'}(z_1, \dots, z_m, 0, z_1', \dots, z_m', 0)\\ &\quad +\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}\int_{\Gamma_0}G(z_1, \dots, z_m, z_{m+1}, z_1', \dots, z_m', -z_{m+1})\frac{dz_{m+1}}{\zeta(1+z_{m+1})\zeta(1-z_{m+1})z_{m+1}^4}\end{align}$

であり、 $O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$ の項については積分計算を実行した結果である。実際、 $\Gamma_1$ 上では

$\displaystyle \left|\frac{\zeta(1+z_i+z_i')}{\zeta(1+z_i)\zeta(1+z_i')}\right| \leq (1+\log R)^3$

と評価できるので、補題１の二つ目の評価の $B=0$ の場合を使えば積分は $O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})$ に吸収されることがわかる。定義から $G(z_1, \dots, z_m, 0, z_1', \dots, z_m', 0)$ および $H$ は $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ 上解析的であり、①から $0 \leq i \leq m$ に対して

$\displaystyle \left\|H\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}=O\left(\left\|G\right\|_{C^{i+1}(\mathcal{D}_{\sigma}^{m+1})}\right)$

が成り立つので帰納法の仮定が使える状況になっている。従って、

$\begin{align} &I(G, m+1) \\ &=G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^{m+1}R+\sum_{i=1}^mO\left(\left\|G(z_1, \dots, z_m, 0, z_1', \dots, z_m', 0)\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m+1-i}R\right) \\ &\quad +H(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO\left(\left\|H\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)}\log^{m-i}R\right) +O(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &= G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^{m+1}R+\sum_{i=1}^mO\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^{m+1})}\log^{m+1-i}R\right) \\ &\quad +H(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^mR+\sum_{i=1}^mO\left(\left\|G\right\|_{C^{i+1}(\mathcal{D}_{\sigma}^{m+1})}\log^{m-i}R\right) +O(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &=G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})\log^{m+1}R+\sum_{i=1}^{m+1}O\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^{m+1})}\log^{m+1-i}R\right)+O(e^{-\delta\sqrt{\log R}})\end{align}$

と変形でき、 $m+1$ のときも主張が成立することが示された。 Q.E.D.

以上で今回の旅は終わりです。期限のある執筆であったためミスや解説が不十分な箇所は存在すると思われますが、それらは今後修正していきます。

とりあえず、

本当に、本当に存在した。

*1:ゼータ関数の零点とリーマン予想 - INTEGERS

*2: $t \in [0, T]$ に対して、 $(t+2)^{-A} \leq 2^{-A} \leq 2^{-1}$ と評価できる。

*3: $\Gamma_2$ を定義したときに述べた利点を思い出す。

*4: $z, z' \in \Gamma_0$ なので、 $\sigma=1+\mathrm{Re}(z+z')\geq 1-\frac{2\beta}{\log 2}$ であることに注意。

*5: $\left|\mathrm{Im}(z)\right| \leq \left|z\right|$ および $\left|z\right|^{-1}=O(1)$ を使っている。 $z'$ についても同様

*6:ちなみに、最終的に $\beta$ は $\sigma$ 依存で選べることに注意。

2017-10-04

グリーン・タオ論文の§10を読む（その二）

等間隔に並ぶ素数を追い求めて

この記事でGoldston-Yıldırım型定理Bを証明します。

(再掲) Goldston-Yıldırım型定理B (Proposition, 9.6) $m$ を正整数とし、 $h_1, \dots, h_m$ を $\left|h_i\right| \leq N^2 \ (1 \leq i \leq m)$ を満たすような相異なる整数とし、

$\displaystyle \Delta := \prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right|$

とおく。 $B$ を長さが $R^{10m}$ 以上であるような $\mathbb{R}$ 内の区間と $\mathbb{Z}$ の共通部分として、 $W$ と互いに素な整数 $1 \leq b < W$ をとる(以上、 $m$ 以外全て $N$ 依存)。このとき、

$\begin{align}&\left.\mathbb{E}\left(\Lambda_R(W(x+h_1)+b)^2\cdots \Lambda_R(W(x+h_m)+b)^2\right| x \in B\right) \\ &\leq \left(1+o_m(1)\right)\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)\end{align}$

が成り立つ。

証明. 前記事でのGoldston-Yıldırım型定理Aの証明と同様の流れで証明する。実際、 $t=1, \ \psi_i(x)=x+h_i$ として全く同じ変形を実行することができ、 $\omega_X(p)$ の定義を

$\displaystyle \omega_X(p):=\left.\mathbb{E}\left(\prod_{i \in X}\mathbf{1}_{W(x+h_i)+b \equiv 0 \pmod{p}} \ \right| \ x \in \mathbb{Z}_p\right)$

と変更すれば前記事補題３の直前まではそのまま成立する。線形形式の一次独立性がなくなっているので、補題３に対応する内容から議論を始めよう。

補題１ (Lemma 10.5) $p \leq w(N)$ のとき、 $X \neq \emptyset$ であれば $\omega_X(p)=0$ である。従って、 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=1$ である。また、 $p > w(N)$ のときは、 $\#X=1$ であれば $\omega_X(p)=p^{-1}, \$ $\#X\geq 2$ であれば $\omega_X(p) \leq p^{-1}$ が成り立つ。更に、 $\#X\geq 2$ のときは $p$ が $\Delta=\prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right|$ を割らない限り $\omega_X(p)=0$ である。

証明. $p \leq w(N)$ のときは $W(x+h_i)+b \equiv b \not \equiv 0 \pmod{p}$ なので $\omega_X(p)=0$ である。 $p > w(N)$ かつ $X \neq \emptyset$ のとき、全ての $i \in X$ に対して $W(x+h_i)+b \equiv 0\pmod{p}$ となるような $x \in \mathbb{Z}_p$ の個数を数えればよいが、 $h_i \bmod{p}$ が全ての $i \in X$ に対して等しいときに限り一つ存在し、そうでないときは一つもない。このことから、残りの主張が全て従う。 Q.E.D.

よって、

$\displaystyle E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = 1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)\sum_{i=1}^m(p^{-1-z_i}+p^{-1-z_i'}-p^{-1-z_i-z_i'})+\mathbf{1}_{p > w(N), p \mid \Delta}(p)\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

と書ける。ここで、

$\displaystyle \lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \sum_{\substack{X, X' \subset \{1, \dots, m\} \\ \#(X \cup X') \geq 2}}\frac{O(p^{-1})}{p^{\sum_{i \in X}z_i+\sum_{i \in X'}z_i'}}$

である。これを次のように積 $E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ に分ける：

$\begin{align} E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= 1+\mathbf{1}_{p > w(N), p \mid \Delta}(p)\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') \\ E_p^{(1)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:= \frac{E_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')}{E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i'})(1-\mathbf{1}_{p > w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}} \\ E_p^{(2)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') &:=\prod_{i=1}^m(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i'})^{-1}(1-\mathbf{1}_{p \leq w(N)}(p)p^{-1-z_i-z_i'}) \\ E_p^{(3)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')&:= \prod_{i=1}^m(1-p^{-1-z_i})(1-p^{-1-z_i'})(1-p^{-1-z_i-z_i'})^{-1}.\end{align}$

収束領域は後で調べることにして、 $j=0, 1, 2, 3$ に対して無限積を

$\displaystyle G_j(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}'):=\prod_pE_p^{(j)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

と定義すると、

$\displaystyle F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')=G_0(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_1(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_2(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')G_3(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

が成り立つ。前記事と同じく $G_3$ は $\mathbb{C}^{2m}$ 全体で有理型。

$G_0, G_1, G_2$ の収束領域

補題２ (Lemma 10.6) $0 < \sigma \leq 1/6m$ とし、 $j=0, 1, 2$ とすると、 $G_j$ は $\mathcal{D}_{\sigma}^m$ で絶対収束し、解析関数を定める。更に、評価

$\displaystyle \left\|G_0\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} \leq O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^i\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{2m\sigma-1})\right),\quad 0 \leq i \leq m,$

$\left\|G_0\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right), \quad \left\|G_1\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\leq O_m(1),\quad \left\|G_2\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1),$

$\displaystyle G_0(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right),\quad G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=1+o_m(1), \quad G_1(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0})=\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m$

が成り立つ。

証明. $G_2$ については前記事と全く同じ。 $G_1$ については、 $p > w(N), p \mid \Delta$ のときに $E_p^{(1)}$ の分母分子に現れる $\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の項の部分が異なるが、 $p^{-1+\bullet}$ の部分はやはり消えるように定義されているため、全く同じ議論がそのまま通用する*1。よって、 $G_0$ に関する主張にのみ新しい議論が必要となる。 $G_0$ は有限積

$\displaystyle G_0(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}') = \prod_{p \mid \Delta}E_p^{(0)}(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$

なので収束性は問題にならない。数論的関数 ω(n) - INTEGERSの記号と補題を用いると、

$\displaystyle \omega(\Delta) = O\left(\frac{\log \Delta}{\log \log \Delta}\right)$

であるが、各 $h_i$ は条件 $\left|h_i\right| \leq N^2$ を満たすので、

$\displaystyle \Delta = \prod_{1 \leq i < j \leq m}\left|h_i-h_j\right| \leq N^{m^2} \leq R^{O_m(1)}$

であり、

$\displaystyle \omega(\Delta) = O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)$

が成り立つ。さて、 $G_0$ を $0 \leq i \leq m$ 階微分することを考える。このとき、ライプニッツ則*2から $\omega(\Delta)^i$ 個の項の和として表わすことができ*3、各項の各因子( $p \mid \Delta$ )は $\lambda_p(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')$ の定義より $\mathcal{D}_{\sigma}^{m}$ 上で

$\displaystyle 1+O_m(p^{2m\sigma-1})$

で上から押さえられる*4。よって、評価

$\displaystyle \left\|G_0\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{\sigma}^m)} \leq O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^i\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{2m\sigma-1})\right),\quad 0 \leq i \leq m,$

が成り立つことがわかった。この公式の $i=m, \ \sigma=1/6m$ の場合を考えて、

$\left\|G_0\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を示すには

$\displaystyle O_m\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^m \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

であることから、

$\displaystyle \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{2}{3}})\right) \leq \exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

を示せばよい。対数を取れば

$\displaystyle \sum_{p \mid \Delta}\log \left(1+O_m(p^{-\frac{2}{3}})\right) \leq O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)$

が示したい評価となるが、 $X > 0$ に対して $X \geq \log(1+X)$ であり、 $\Delta \leq R^{O_m(1)}$ なので

$\displaystyle \sum_{p \mid \Delta}p^{-\frac{2}{3}} \leq O(\log^{\frac{1}{3}}\Delta)$

に帰着される。

$\displaystyle \sum_{p \mid \Delta}p^{-\frac{2}{3}} \leq \sum_{n \leq \omega(\Delta)}n^{-\frac{2}{3}} \leq \sum_{n \leq O\left(\frac{\log \Delta}{\log \log \Delta}\right)}n^{-\frac{2}{3}}$

と評価できるが、Abelの総和法より $\sum_{n \leq x}n^{-\frac{2}{3}}=O(x^{\frac{1}{3}})$ なので所望の評価が得られる。

最後に、 $p^{-1} < p^{-\frac{1}{2}}$ より $E_p^{(0)}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = 1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})$ なので、

$\displaystyle G_0(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = \prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)$

の成立がわかる。 Q.E.D.

前記事補題５を認めた上での定理Bの証明の完成

$G=G_0G_1G_2, \ \sigma=1/6m$ として前記事の補題５を適用する。Leibniz則と補題２より

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{i, m, w(N)}(1)\left(\frac{\log R}{\log \log R}\right)^i\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right),\quad 0 \leq i \leq m$

および*5

$\displaystyle \left\|G\right\|_{C^m(\mathcal{D}_{1/6m}^m)} \leq O_{m, w(N)}(1)\exp\left(O_m(\log^{\frac{1}{3}}R)\right)$

が成り立ち、

$\displaystyle G(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = (1+o_m(1) )\left(\frac{W}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)$

と計算されるので、 $w(N)$ の増加速度が十分遅ければ前記事の補題５の帰結は

$\begin{align}&\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{2m}}\underbrace{\int_{\Gamma_1} \cdots \int_{\Gamma_1}}_{2m}F(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{z}')\prod_{i=1}^m\frac{R^{z_i+z_i'}}{z_i^2z_i'^2}dz_idz_i' \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)+\sum_{i=1}^mO_{m}\left(\left\|G\right\|_{C^i(\mathcal{D}_{1/6m}^m)}\log^{m-i}R\right)+O_{m}(e^{-\delta\sqrt{\log R}}) \\ &= (1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)+O_{m, w(N)}\left(\frac{\log^mR}{\log \log R}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right)\\ &=(1+o_m(1) )\left(\frac{W\log R}{\varphi(W)}\right)^m\prod_{p \mid \Delta}\left(1+O_m(p^{-\frac{1}{2}})\right) \end{align}$